Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18130 / 51698
↖ ↑ ↗
← S 71.500523°
W 80.408935°		 ← 193.80 m → S 71.500523°
W 80.403442°		 →
↑
193.74 m
↓
↑
193.74 m
↓
S 71.502266°
W 80.408935°		 ← 193.78 m →
37 546 m²		 S 71.502266°
W 80.403442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276649475097656 y=0.788856506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276649475097656 × 216)
    floor (0.276649475097656 × 65536)
    floor (18130.5)     		tx = 18130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788856506347656 × 216)
    floor (0.788856506347656 × 65536)
    floor (51698.5)     		ty = 51698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18130 / 51698 ti = "16/18130/51698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18130/51698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18130 ÷ 216
    18130 ÷ 65536     		x = 0.276641845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51698 ÷ 216
    51698 ÷ 65536     		y = 0.788848876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.44671630859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40340067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788848876953125 × 2 - 1) × π
    -0.57769775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.81489101961533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40340067} λ = -1.40340067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81489101961533))-π/2
    2×atan(0.162855655495118)-π/2
    2×0.161438390596161-π/2
    0.322876781192321-1.57079632675     		φ = -1.24791955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40340067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.408935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24791955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.500523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18130 KachelY 51698 -1.40340067 -1.24791955 -80.408935 -71.500523
    Oben rechts KachelX + 1 18131 KachelY 51698 -1.40330480 -1.24791955 -80.403442 -71.500523
    Unten links KachelX 18130 KachelY + 1 51699 -1.40340067 -1.24794996 -80.408935 -71.502266
    Unten rechts KachelX + 1 18131 KachelY + 1 51699 -1.40330480 -1.24794996 -80.403442 -71.502266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24791955--1.24794996) × R
    3.04099999999252e-05 × 6371000     		dl = 193.742109999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24791955--1.24794996) × R
    3.04099999999252e-05 × 6371000     		dr = 193.742109999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40340067--1.40330480) × cos(-1.24791955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317295993622117 × 6371000     		do = 193.800512374383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40340067--1.40330480) × cos(-1.24794996) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317267154864911 × 6371000     		du = 193.782898014179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24791955)-sin(-1.24794996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317295993622117-0.317267154864911)×R²
    abs(-1.40330480--1.40340067)×2.88387572057736e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.88387572057736e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.88387572057736e-05×40589641000000     		ar = 37545.6138673026m²