Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1813 / 885
↖ ↑ ↗
← N 70.931003°
W 20.654297°		 ← 3 192.92 m → N 70.931003°
W 20.566406°		 →
↑
3 195.18 m
↓
↑
3 195.18 m
↓
N 70.902268°
W 20.654297°		 ← 3 197.55 m →
10 209 365 m²		 N 70.902268°
W 20.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4427490234375 y=0.2161865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4427490234375 × 212)
    floor (0.4427490234375 × 4096)
    floor (1813.5)     		tx = 1813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2161865234375 × 212)
    floor (0.2161865234375 × 4096)
    floor (885.5)     		ty = 885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1813 / 885 ti = "12/1813/885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1813/885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1813 ÷ 212
    1813 ÷ 4096     		x = 0.442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 885 ÷ 212
    885 ÷ 4096     		y = 0.216064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.11474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36048549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.216064453125 × 2 - 1) × π
    0.56787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78401965626001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36048549} λ = -0.36048549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78401965626001))-π/2
    2×atan(5.95374037355061)-π/2
    2×1.40438794008109-π/2
    2.80877588016217-1.57079632675     		φ = 1.23797955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36048549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.654297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23797955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.931003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1813 KachelY 885 -0.36048549 1.23797955 -20.654297 70.931003
    Oben rechts KachelX + 1 1814 KachelY 885 -0.35895150 1.23797955 -20.566406 70.931003
    Unten links KachelX 1813 KachelY + 1 886 -0.36048549 1.23747803 -20.654297 70.902268
    Unten rechts KachelX + 1 1814 KachelY + 1 886 -0.35895150 1.23747803 -20.566406 70.902268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23797955-1.23747803) × R
    0.000501520000000033 × 6371000     		dl = 3195.18392000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23797955-1.23747803) × R
    0.000501520000000033 × 6371000     		dr = 3195.18392000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36048549--0.35895150) × cos(1.23797955) × R
    0.00153399000000004 × 0.326706529475913 × 6371000     		do = 3192.91934263955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36048549--0.35895150) × cos(1.23747803) × R
    0.00153399000000004 × 0.32718048787772 × 6371000     		du = 3197.55136193577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23797955)-sin(1.23747803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326706529475913-0.32718048787772)×R²
    abs(-0.35895150--0.36048549)×0.000473958401806696×R²
    0.00153399000000004×0.000473958401806696×6371000²
    0.00153399000000004×0.000473958401806696×40589641000000     		ar = 10209364.8322333m²