Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1813 / 882
↖ ↑ ↗
← N 71.016960°
W 20.654297°		 ← 3 179.06 m → N 71.016960°
W 20.566406°		 →
↑
3 181.36 m
↓
↑
3 181.36 m
↓
N 70.988349°
W 20.654297°		 ← 3 183.67 m →
10 121 066 m²		 N 70.988349°
W 20.566406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4427490234375 y=0.2154541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4427490234375 × 212)
    floor (0.4427490234375 × 4096)
    floor (1813.5)     		tx = 1813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2154541015625 × 212)
    floor (0.2154541015625 × 4096)
    floor (882.5)     		ty = 882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1813 / 882 ti = "12/1813/882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1813/882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1813 ÷ 212
    1813 ÷ 4096     		x = 0.442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 882 ÷ 212
    882 ÷ 4096     		y = 0.21533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.11474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36048549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21533203125 × 2 - 1) × π
    0.5693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78862159862354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36048549} λ = -0.36048549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78862159862354))-π/2
    2×atan(5.98120228419669)-π/2
    2×1.40513804964942-π/2
    2.81027609929883-1.57079632675     		φ = 1.23947977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36048549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.654297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23947977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.016960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1813 KachelY 882 -0.36048549 1.23947977 -20.654297 71.016960
    Oben rechts KachelX + 1 1814 KachelY 882 -0.35895150 1.23947977 -20.566406 71.016960
    Unten links KachelX 1813 KachelY + 1 883 -0.36048549 1.23898042 -20.654297 70.988349
    Unten rechts KachelX + 1 1814 KachelY + 1 883 -0.35895150 1.23898042 -20.566406 70.988349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23947977-1.23898042) × R
    0.000499349999999898 × 6371000     		dl = 3181.35884999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23947977-1.23898042) × R
    0.000499349999999898 × 6371000     		dr = 3181.35884999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36048549--0.35895150) × cos(1.23947977) × R
    0.00153399000000004 × 0.325288265675305 × 6371000     		do = 3179.05857919173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36048549--0.35895150) × cos(1.23898042) × R
    0.00153399000000004 × 0.325760417901964 × 6371000     		du = 3183.6729466474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23947977)-sin(1.23898042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325288265675305-0.325760417901964)×R²
    abs(-0.35895150--0.36048549)×0.00047215222665864×R²
    0.00153399000000004×0.00047215222665864×6371000²
    0.00153399000000004×0.00047215222665864×40589641000000     		ar = 10121066.335252m²