Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18125 / 52436
↖ ↑ ↗
← S 72.744522°
W 80.436401°		 ← 181.18 m → S 72.744522°
W 80.430908°		 →
↑
181.19 m
↓
↑
181.19 m
↓
S 72.746151°
W 80.436401°		 ← 181.16 m →
32 827 m²		 S 72.746151°
W 80.430908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276573181152344 y=0.800117492675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276573181152344 × 216)
    floor (0.276573181152344 × 65536)
    floor (18125.5)     		tx = 18125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800117492675781 × 216)
    floor (0.800117492675781 × 65536)
    floor (52436.5)     		ty = 52436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18125 / 52436 ti = "16/18125/52436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18125/52436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18125 ÷ 216
    18125 ÷ 65536     		x = 0.276565551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52436 ÷ 216
    52436 ÷ 65536     		y = 0.80010986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276565551757812 × 2 - 1) × π
    -0.446868896484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40388004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80010986328125 × 2 - 1) × π
    -0.6002197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88564588345453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40388004} λ = -1.40388004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88564588345453))-π/2
    2×atan(0.151731027214129)-π/2
    2×0.150582452348353-π/2
    0.301164904696707-1.57079632675     		φ = -1.26963142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40388004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.436401°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26963142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.744522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18125 KachelY 52436 -1.40388004 -1.26963142 -80.436401 -72.744522
    Oben rechts KachelX + 1 18126 KachelY 52436 -1.40378417 -1.26963142 -80.430908 -72.744522
    Unten links KachelX 18125 KachelY + 1 52437 -1.40388004 -1.26965986 -80.436401 -72.746151
    Unten rechts KachelX + 1 18126 KachelY + 1 52437 -1.40378417 -1.26965986 -80.430908 -72.746151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26963142--1.26965986) × R
    2.84399999999074e-05 × 6371000     		dl = 181.19123999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26963142--1.26965986) × R
    2.84399999999074e-05 × 6371000     		dr = 181.19123999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40388004--1.40378417) × cos(-1.26963142) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.296632883865641 × 6371000     		do = 181.17973764496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40388004--1.40378417) × cos(-1.26965986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.296605723784933 × 6371000     		du = 181.163148599831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26963142)-sin(-1.26965986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296632883865641-0.296605723784933)×R²
    abs(-1.40378417--1.40388004)×2.71600807082994e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.71600807082994e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.71600807082994e-05×40589641000000     		ar = 32826.6784341696m²