Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18124 / 51521
↖ ↑ ↗
← S 71.189525°
W 80.441895°		 ← 196.96 m → S 71.189525°
W 80.436401°		 →
↑
196.93 m
↓
↑
196.93 m
↓
S 71.191296°
W 80.441895°		 ← 196.94 m →
38 786 m²		 S 71.191296°
W 80.436401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276557922363281 y=0.786155700683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276557922363281 × 216)
    floor (0.276557922363281 × 65536)
    floor (18124.5)     		tx = 18124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786155700683594 × 216)
    floor (0.786155700683594 × 65536)
    floor (51521.5)     		ty = 51521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18124 / 51521 ti = "16/18124/51521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18124/51521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18124 ÷ 216
    18124 ÷ 65536     		x = 0.27655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51521 ÷ 216
    51521 ÷ 65536     		y = 0.786148071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.4468994140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40397592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786148071289062 × 2 - 1) × π
    -0.572296142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79792135714983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40397592} λ = -1.40397592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79792135714983))-π/2
    2×atan(0.165642842929382)-π/2
    2×0.16415235950462-π/2
    0.328304719009241-1.57079632675     		φ = -1.24249161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40397592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.441895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24249161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.189525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18124 KachelY 51521 -1.40397592 -1.24249161 -80.441895 -71.189525
    Oben rechts KachelX + 1 18125 KachelY 51521 -1.40388004 -1.24249161 -80.436401 -71.189525
    Unten links KachelX 18124 KachelY + 1 51522 -1.40397592 -1.24252252 -80.441895 -71.191296
    Unten rechts KachelX + 1 18125 KachelY + 1 51522 -1.40388004 -1.24252252 -80.436401 -71.191296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24249161--1.24252252) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dl = 196.927609999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24249161--1.24252252) × R
    3.09099999999951e-05 × 6371000     		dr = 196.927609999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40397592--1.40388004) × cos(-1.24249161) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.322438753819475 × 6371000     		do = 196.962189979853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40397592--1.40388004) × cos(-1.24252252) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.322409494558392 × 6371000     		du = 196.944316916917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24249161)-sin(-1.24252252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322438753819475-0.322409494558392)×R²
    abs(-1.40388004--1.40397592)×2.92592610832143e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.92592610832143e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.92592610832143e-05×40589641000000     		ar = 38785.5334865733m²