Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18124 / 51516
↖ ↑ ↗
← S 71.180667°
W 80.441895°		 ← 197.05 m → S 71.180667°
W 80.436401°		 →
↑
196.99 m
↓
↑
196.99 m
↓
S 71.182439°
W 80.441895°		 ← 197.03 m →
38 816 m²		 S 71.182439°
W 80.436401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276557922363281 y=0.786079406738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276557922363281 × 216)
    floor (0.276557922363281 × 65536)
    floor (18124.5)     		tx = 18124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786079406738281 × 216)
    floor (0.786079406738281 × 65536)
    floor (51516.5)     		ty = 51516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18124 / 51516 ti = "16/18124/51516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18124/51516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18124 ÷ 216
    18124 ÷ 65536     		x = 0.27655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51516 ÷ 216
    51516 ÷ 65536     		y = 0.78607177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.4468994140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40397592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78607177734375 × 2 - 1) × π
    -0.5721435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79744198815363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40397592} λ = -1.40397592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79744198815363))-π/2
    2×atan(0.165722266007684)-π/2
    2×0.164229660612675-π/2
    0.328459321225351-1.57079632675     		φ = -1.24233701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40397592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.441895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24233701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.180667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18124 KachelY 51516 -1.40397592 -1.24233701 -80.441895 -71.180667
    Oben rechts KachelX + 1 18125 KachelY 51516 -1.40388004 -1.24233701 -80.436401 -71.180667
    Unten links KachelX 18124 KachelY + 1 51517 -1.40397592 -1.24236793 -80.441895 -71.182439
    Unten rechts KachelX + 1 18125 KachelY + 1 51517 -1.40388004 -1.24236793 -80.436401 -71.182439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24233701--1.24236793) × R
    3.09199999999343e-05 × 6371000     		dl = 196.991319999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24233701--1.24236793) × R
    3.09199999999343e-05 × 6371000     		dr = 196.991319999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40397592--1.40388004) × cos(-1.24233701) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.32258509283035 × 6371000     		do = 197.051581381228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40397592--1.40388004) × cos(-1.24236793) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.322555825644876 × 6371000     		du = 197.033703477665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24233701)-sin(-1.24236793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32258509283035-0.322555825644876)×R²
    abs(-1.40388004--1.40397592)×2.92671854742466e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.92671854742466e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.92671854742466e-05×40589641000000     		ar = 38815.6902317322m²