Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18124 / 22468
↖ ↑ ↗
← N 75.538369°
W130.220947°		 ← 76.26 m → N 75.538369°
W130.218201°		 →
↑
76.26 m
↓
↑
76.26 m
↓
N 75.537683°
W130.220947°		 ← 76.26 m →
5 816 m²		 N 75.537683°
W130.218201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138278961181641 y=0.171421051025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138278961181641 × 217)
    floor (0.138278961181641 × 131072)
    floor (18124.5)     		tx = 18124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171421051025391 × 217)
    floor (0.171421051025391 × 131072)
    floor (22468.5)     		ty = 22468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18124 / 22468 ti = "17/18124/22468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18124/22468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18124 ÷ 217
    18124 ÷ 131072     		x = 0.138275146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22468 ÷ 217
    22468 ÷ 131072     		y = 0.171417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138275146484375 × 2 - 1) × π
    -0.72344970703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.27278428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171417236328125 × 2 - 1) × π
    0.65716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.06454639283658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27278428} λ = -2.27278428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06454639283658))-π/2
    2×atan(7.88172188115748)-π/2
    2×1.44459479027118-π/2
    2.88918958054236-1.57079632675     		φ = 1.31839325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27278428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.220947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31839325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.538369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18124 KachelY 22468 -2.27278428 1.31839325 -130.220947 75.538369
    Oben rechts KachelX + 1 18125 KachelY 22468 -2.27273635 1.31839325 -130.218201 75.538369
    Unten links KachelX 18124 KachelY + 1 22469 -2.27278428 1.31838128 -130.220947 75.537683
    Unten rechts KachelX + 1 18125 KachelY + 1 22469 -2.27273635 1.31838128 -130.218201 75.537683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31839325-1.31838128) × R
    1.19699999998613e-05 × 6371000     		dl = 76.2608699991161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31839325-1.31838128) × R
    1.19699999998613e-05 × 6371000     		dr = 76.2608699991161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27278428--2.27273635) × cos(1.31839325) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.249731613619316 × 6371000     		do = 76.2585524900166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27278428--2.27273635) × cos(1.31838128) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.249743204333099 × 6371000     		du = 76.2620918539066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31839325)-sin(1.31838128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249731613619316-0.249743204333099)×R²
    abs(-2.27273635--2.27278428)×1.1590713783205e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.1590713783205e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.1590713783205e-05×40589641000000     		ar = 5815.67851531042m²