Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18123 / 51515
↖ ↑ ↗
← S 71.178895°
W 80.447388°		 ← 197.05 m → S 71.178895°
W 80.441895°		 →
↑
197.06 m
↓
↑
197.06 m
↓
S 71.180667°
W 80.447388°		 ← 197.03 m →
38 828 m²		 S 71.180667°
W 80.441895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276542663574219 y=0.786064147949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276542663574219 × 216)
    floor (0.276542663574219 × 65536)
    floor (18123.5)     		tx = 18123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786064147949219 × 216)
    floor (0.786064147949219 × 65536)
    floor (51515.5)     		ty = 51515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18123 / 51515 ti = "16/18123/51515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18123/51515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18123 ÷ 216
    18123 ÷ 65536     		x = 0.276535034179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51515 ÷ 216
    51515 ÷ 65536     		y = 0.786056518554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276535034179688 × 2 - 1) × π
    -0.446929931640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40407179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786056518554688 × 2 - 1) × π
    -0.572113037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79734611435439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40407179} λ = -1.40407179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79734611435439))-π/2
    2×atan(0.165738155192611)-π/2
    2×0.164245125043764-π/2
    0.328490250087527-1.57079632675     		φ = -1.24230608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40407179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.447388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24230608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.178895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18123 KachelY 51515 -1.40407179 -1.24230608 -80.447388 -71.178895
    Oben rechts KachelX + 1 18124 KachelY 51515 -1.40397592 -1.24230608 -80.441895 -71.178895
    Unten links KachelX 18123 KachelY + 1 51516 -1.40407179 -1.24233701 -80.447388 -71.180667
    Unten rechts KachelX + 1 18124 KachelY + 1 51516 -1.40397592 -1.24233701 -80.441895 -71.180667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24230608--1.24233701) × R
    3.09299999998736e-05 × 6371000     		dl = 197.055029999194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24230608--1.24233701) × R
    3.09299999998736e-05 × 6371000     		dr = 197.055029999194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40407179--1.40397592) × cos(-1.24230608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322614369172723 × 6371000     		do = 197.04891111696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40407179--1.40397592) × cos(-1.24233701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32258509283035 × 6371000     		du = 197.031029485088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24230608)-sin(-1.24233701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322614369172723-0.32258509283035)×R²
    abs(-1.40397592--1.40407179)×2.92763423727638e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92763423727638e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92763423727638e-05×40589641000000     		ar = 38827.7172617225m²