Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18123 / 51514
↖ ↑ ↗
← S 71.177123°
W 80.447388°		 ← 197.07 m → S 71.177123°
W 80.441895°		 →
↑
197.12 m
↓
↑
197.12 m
↓
S 71.178895°
W 80.447388°		 ← 197.05 m →
38 844 m²		 S 71.178895°
W 80.441895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276542663574219 y=0.786048889160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276542663574219 × 216)
    floor (0.276542663574219 × 65536)
    floor (18123.5)     		tx = 18123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786048889160156 × 216)
    floor (0.786048889160156 × 65536)
    floor (51514.5)     		ty = 51514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18123 / 51514 ti = "16/18123/51514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18123/51514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18123 ÷ 216
    18123 ÷ 65536     		x = 0.276535034179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51514 ÷ 216
    51514 ÷ 65536     		y = 0.786041259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276535034179688 × 2 - 1) × π
    -0.446929931640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40407179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786041259765625 × 2 - 1) × π
    -0.57208251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79725024055515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40407179} λ = -1.40407179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79725024055515))-π/2
    2×atan(0.165754045900968)-π/2
    2×0.164260590878274-π/2
    0.328521181756547-1.57079632675     		φ = -1.24227514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40407179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.447388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24227514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.177123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18123 KachelY 51514 -1.40407179 -1.24227514 -80.447388 -71.177123
    Oben rechts KachelX + 1 18124 KachelY 51514 -1.40397592 -1.24227514 -80.441895 -71.177123
    Unten links KachelX 18123 KachelY + 1 51515 -1.40407179 -1.24230608 -80.447388 -71.178895
    Unten rechts KachelX + 1 18124 KachelY + 1 51515 -1.40397592 -1.24230608 -80.441895 -71.178895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24227514--1.24230608) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dl = 197.118740000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24227514--1.24230608) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dr = 197.118740000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40407179--1.40397592) × cos(-1.24227514) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322643654671667 × 6371000     		do = 197.066798341553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40407179--1.40397592) × cos(-1.24230608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322614369172723 × 6371000     		du = 197.04891111696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24227514)-sin(-1.24230608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322643654671667-0.322614369172723)×R²
    abs(-1.40397592--1.40407179)×2.92854989442093e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92854989442093e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92854989442093e-05×40589641000000     		ar = 38843.7960346601m²