Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18123 / 15548
↖ ↑ ↗
← N 68.277521°
W 80.447388°		 ← 226.06 m → N 68.277521°
W 80.441895°		 →
↑
226.11 m
↓
↑
226.11 m
↓
N 68.275487°
W 80.447388°		 ← 226.08 m →
51 116 m²		 N 68.275487°
W 80.441895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276542663574219 y=0.237251281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276542663574219 × 216)
    floor (0.276542663574219 × 65536)
    floor (18123.5)     		tx = 18123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237251281738281 × 216)
    floor (0.237251281738281 × 65536)
    floor (15548.5)     		ty = 15548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18123 / 15548 ti = "16/18123/15548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18123/15548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18123 ÷ 216
    18123 ÷ 65536     		x = 0.276535034179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15548 ÷ 216
    15548 ÷ 65536     		y = 0.23724365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276535034179688 × 2 - 1) × π
    -0.446929931640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40407179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23724365234375 × 2 - 1) × π
    0.5255126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.65094682291473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40407179} λ = -1.40407179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65094682291473))-π/2
    2×atan(5.21191224969363)-π/2
    2×1.38123193300635-π/2
    2.7624638660127-1.57079632675     		φ = 1.19166754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40407179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.447388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19166754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.277521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18123 KachelY 15548 -1.40407179 1.19166754 -80.447388 68.277521
    Oben rechts KachelX + 1 18124 KachelY 15548 -1.40397592 1.19166754 -80.441895 68.277521
    Unten links KachelX 18123 KachelY + 1 15549 -1.40407179 1.19163205 -80.447388 68.275487
    Unten rechts KachelX + 1 18124 KachelY + 1 15549 -1.40397592 1.19163205 -80.441895 68.275487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19166754-1.19163205) × R
    3.54900000001379e-05 × 6371000     		dl = 226.106790000879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19166754-1.19163205) × R
    3.54900000001379e-05 × 6371000     		dr = 226.106790000879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40407179--1.40397592) × cos(1.19166754) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370111263855086 × 6371000     		do = 226.059433501925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40407179--1.40397592) × cos(1.19163205) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370144233386024 × 6371000     		du = 226.079570888204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19166754)-sin(1.19163205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370111263855086-0.370144233386024)×R²
    abs(-1.40397592--1.40407179)×3.2969530937732e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.2969530937732e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.2969530937732e-05×40589641000000     		ar = 51115.8494635627m²