Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18122 / 51518
↖ ↑ ↗
← S 71.184211°
W 80.452881°		 ← 197 m → S 71.184211°
W 80.447388°		 →
↑
197.06 m
↓
↑
197.06 m
↓
S 71.185983°
W 80.452881°		 ← 196.98 m →
38 817 m²		 S 71.185983°
W 80.447388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276527404785156 y=0.786109924316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276527404785156 × 216)
    floor (0.276527404785156 × 65536)
    floor (18122.5)     		tx = 18122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786109924316406 × 216)
    floor (0.786109924316406 × 65536)
    floor (51518.5)     		ty = 51518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18122 / 51518 ti = "16/18122/51518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18122/51518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18122 ÷ 216
    18122 ÷ 65536     		x = 0.276519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51518 ÷ 216
    51518 ÷ 65536     		y = 0.786102294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276519775390625 × 2 - 1) × π
    -0.44696044921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40416766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786102294921875 × 2 - 1) × π
    -0.57220458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79763373575211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40416766} λ = -1.40416766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79763373575211))-π/2
    2×atan(0.165690492207535)-π/2
    2×0.164198735960314-π/2
    0.328397471920627-1.57079632675     		φ = -1.24239885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40416766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.452881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24239885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.184211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18122 KachelY 51518 -1.40416766 -1.24239885 -80.452881 -71.184211
    Oben rechts KachelX + 1 18123 KachelY 51518 -1.40407179 -1.24239885 -80.447388 -71.184211
    Unten links KachelX 18122 KachelY + 1 51519 -1.40416766 -1.24242978 -80.452881 -71.185983
    Unten rechts KachelX + 1 18123 KachelY + 1 51519 -1.40407179 -1.24242978 -80.447388 -71.185983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24239885--1.24242978) × R
    3.09299999998736e-05 × 6371000     		dl = 197.055029999194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24239885--1.24242978) × R
    3.09299999998736e-05 × 6371000     		dr = 197.055029999194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40416766--1.40407179) × cos(-1.24239885) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322526558151023 × 6371000     		do = 196.995277218835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40416766--1.40407179) × cos(-1.24242978) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322497280883117 × 6371000     		du = 196.977395021658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24239885)-sin(-1.24242978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322526558151023-0.322497280883117)×R²
    abs(-1.40407179--1.40416766)×2.92772679068021e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92772679068021e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92772679068021e-05×40589641000000     		ar = 38817.1483766952m²