Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18122 / 22844
↖ ↑ ↗
← N 75.278205°
W130.226441°		 ← 77.62 m → N 75.278205°
W130.223694°		 →
↑
77.60 m
↓
↑
77.60 m
↓
N 75.277507°
W130.226441°		 ← 77.62 m →
6 023 m²		 N 75.277507°
W130.223694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138263702392578 y=0.174289703369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138263702392578 × 217)
    floor (0.138263702392578 × 131072)
    floor (18122.5)     		tx = 18122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.174289703369141 × 217)
    floor (0.174289703369141 × 131072)
    floor (22844.5)     		ty = 22844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18122 / 22844 ti = "17/18122/22844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18122/22844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18122 ÷ 217
    18122 ÷ 131072     		x = 0.138259887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22844 ÷ 217
    22844 ÷ 131072     		y = 0.174285888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138259887695312 × 2 - 1) × π
    -0.723480224609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27288016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.174285888671875 × 2 - 1) × π
    0.65142822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.04652211857944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27288016} λ = -2.27288016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04652211857944))-π/2
    2×atan(7.74093219189945)-π/2
    2×1.44232442756761-π/2
    2.88464885513521-1.57079632675     		φ = 1.31385253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27288016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.226441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31385253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.278205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18122 KachelY 22844 -2.27288016 1.31385253 -130.226441 75.278205
    Oben rechts KachelX + 1 18123 KachelY 22844 -2.27283222 1.31385253 -130.223694 75.278205
    Unten links KachelX 18122 KachelY + 1 22845 -2.27288016 1.31384035 -130.226441 75.277507
    Unten rechts KachelX + 1 18123 KachelY + 1 22845 -2.27283222 1.31384035 -130.223694 75.277507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31385253-1.31384035) × R
    1.21799999999173e-05 × 6371000     		dl = 77.5987799994728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31385253-1.31384035) × R
    1.21799999999173e-05 × 6371000     		dr = 77.5987799994728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27288016--2.27283222) × cos(1.31385253) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.25412587172754 × 6371000     		do = 77.6165824254781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27288016--2.27283222) × cos(1.31384035) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.254137651853346 × 6371000     		du = 77.6201803791198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31385253)-sin(1.31384035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25412587172754-0.254137651853346)×R²
    abs(-2.27283222--2.27288016)×1.17801258064376e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.17801258064376e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.17801258064376e-05×40589641000000     		ar = 6023.09170247267m²