Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18121 / 52296
↖ ↑ ↗
← S 72.514931°
W 80.458374°		 ← 183.53 m → S 72.514931°
W 80.452881°		 →
↑
183.55 m
↓
↑
183.55 m
↓
S 72.516582°
W 80.458374°		 ← 183.52 m →
33 686 m²		 S 72.516582°
W 80.452881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276512145996094 y=0.797981262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276512145996094 × 216)
    floor (0.276512145996094 × 65536)
    floor (18121.5)     		tx = 18121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797981262207031 × 216)
    floor (0.797981262207031 × 65536)
    floor (52296.5)     		ty = 52296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18121 / 52296 ti = "16/18121/52296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18121/52296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18121 ÷ 216
    18121 ÷ 65536     		x = 0.276504516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52296 ÷ 216
    52296 ÷ 65536     		y = 0.7979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276504516601562 × 2 - 1) × π
    -0.446990966796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40426354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7979736328125 × 2 - 1) × π
    -0.595947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.87222355156091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40426354} λ = -1.40426354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87222355156091))-π/2
    2×atan(0.153781340631771)-π/2
    2×0.152586013135662-π/2
    0.305172026271324-1.57079632675     		φ = -1.26562430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40426354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.458374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26562430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.514931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18121 KachelY 52296 -1.40426354 -1.26562430 -80.458374 -72.514931
    Oben rechts KachelX + 1 18122 KachelY 52296 -1.40416766 -1.26562430 -80.452881 -72.514931
    Unten links KachelX 18121 KachelY + 1 52297 -1.40426354 -1.26565311 -80.458374 -72.516582
    Unten rechts KachelX + 1 18122 KachelY + 1 52297 -1.40416766 -1.26565311 -80.452881 -72.516582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26562430--1.26565311) × R
    2.88099999998792e-05 × 6371000     		dl = 183.54850999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26562430--1.26565311) × R
    2.88099999998792e-05 × 6371000     		dr = 183.54850999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40426354--1.40416766) × cos(-1.26562430) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.300457257999204 × 6371000     		do = 183.53476072586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40426354--1.40416766) × cos(-1.26565311) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.300429779032499 × 6371000     		du = 183.51797515838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26562430)-sin(-1.26565311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300457257999204-0.300429779032499)×R²
    abs(-1.40416766--1.40426354)×2.74789667045194e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.74789667045194e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.74789667045194e-05×40589641000000     		ar = 33685.9913840321m²