Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18120 / 15576
↖ ↑ ↗
← N 68.220523°
W 80.463867°		 ← 226.62 m → N 68.220523°
W 80.458374°		 →
↑
226.68 m
↓
↑
226.68 m
↓
N 68.218485°
W 80.463867°		 ← 226.64 m →
51 373 m²		 N 68.218485°
W 80.458374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276496887207031 y=0.237678527832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276496887207031 × 216)
    floor (0.276496887207031 × 65536)
    floor (18120.5)     		tx = 18120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237678527832031 × 216)
    floor (0.237678527832031 × 65536)
    floor (15576.5)     		ty = 15576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18120 / 15576 ti = "16/18120/15576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18120/15576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18120 ÷ 216
    18120 ÷ 65536     		x = 0.2764892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15576 ÷ 216
    15576 ÷ 65536     		y = 0.2376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2764892578125 × 2 - 1) × π
    -0.447021484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40435941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2376708984375 × 2 - 1) × π
    0.524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.64826235653601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40435941} λ = -1.40435941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64826235653601))-π/2
    2×atan(5.19793980915477)-π/2
    2×1.38073453751166-π/2
    2.76146907502333-1.57079632675     		φ = 1.19067275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40435941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.463867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19067275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.220523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18120 KachelY 15576 -1.40435941 1.19067275 -80.463867 68.220523
    Oben rechts KachelX + 1 18121 KachelY 15576 -1.40426354 1.19067275 -80.458374 68.220523
    Unten links KachelX 18120 KachelY + 1 15577 -1.40435941 1.19063717 -80.463867 68.218485
    Unten rechts KachelX + 1 18121 KachelY + 1 15577 -1.40426354 1.19063717 -80.458374 68.218485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19067275-1.19063717) × R
    3.5580000000035e-05 × 6371000     		dl = 226.680180000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19067275-1.19063717) × R
    3.5580000000035e-05 × 6371000     		dr = 226.680180000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40435941--1.40426354) × cos(1.19067275) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.371035227979684 × 6371000     		do = 226.623779489148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40435941--1.40426354) × cos(1.19063717) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.371068268001419 × 6371000     		du = 226.643959930344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19067275)-sin(1.19063717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371035227979684-0.371068268001419)×R²
    abs(-1.40426354--1.40435941)×3.30400217348203e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30400217348203e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30400217348203e-05×40589641000000     		ar = 51373.4063849986m²