Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1812 / 1315
↖ ↑ ↗
← N 76.486046°
W100.371094°		 ← 1 141.89 m → N 76.486046°
W100.327148°		 →
↑
1 142.32 m
↓
↑
1 142.32 m
↓
N 76.475773°
W100.371094°		 ← 1 142.74 m →
1 304 887 m²		 N 76.475773°
W100.327148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22125244140625 y=0.16058349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22125244140625 × 213)
    floor (0.22125244140625 × 8192)
    floor (1812.5)     		tx = 1812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16058349609375 × 213)
    floor (0.16058349609375 × 8192)
    floor (1315.5)     		ty = 1315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1812 / 1315 ti = "13/1812/1315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1812/1315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1812 ÷ 213
    1812 ÷ 8192     		x = 0.22119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1315 ÷ 213
    1315 ÷ 8192     		y = 0.1605224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22119140625 × 2 - 1) × π
    -0.5576171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75180606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1605224609375 × 2 - 1) × π
    0.678955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13300028549402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75180606} λ = -1.75180606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13300028549402))-π/2
    2×atan(8.44015172628291)-π/2
    2×1.45286482722215-π/2
    2.90572965444431-1.57079632675     		φ = 1.33493333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75180606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33493333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.486046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1812 KachelY 1315 -1.75180606 1.33493333 -100.371094 76.486046
    Oben rechts KachelX + 1 1813 KachelY 1315 -1.75103907 1.33493333 -100.327148 76.486046
    Unten links KachelX 1812 KachelY + 1 1316 -1.75180606 1.33475403 -100.371094 76.475773
    Unten rechts KachelX + 1 1813 KachelY + 1 1316 -1.75103907 1.33475403 -100.327148 76.475773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33493333-1.33475403) × R
    0.000179299999999882 × 6371000     		dl = 1142.32029999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33493333-1.33475403) × R
    0.000179299999999882 × 6371000     		dr = 1142.32029999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75180606--1.75103907) × cos(1.33493333) × R
    0.000766990000000023 × 0.233682175461332 × 6371000     		do = 1141.88638238443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75180606--1.75103907) × cos(1.33475403) × R
    0.000766990000000023 × 0.23385650743157 × 6371000     		du = 1142.73825438724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33493333)-sin(1.33475403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233682175461332-0.23385650743157)×R²
    abs(-1.75103907--1.75180606)×0.000174331970238667×R²
    0.000766990000000023×0.000174331970238667×6371000²
    0.000766990000000023×0.000174331970238667×40589641000000     		ar = 1304886.55372739m²