Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18118 / 52622
↖ ↑ ↗
← S 73.045033°
W 80.474854°		 ← 178.12 m → S 73.045033°
W 80.469361°		 →
↑
178.13 m
↓
↑
178.13 m
↓
S 73.046635°
W 80.474854°		 ← 178.10 m →
31 727 m²		 S 73.046635°
W 80.469361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276466369628906 y=0.802955627441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276466369628906 × 216)
    floor (0.276466369628906 × 65536)
    floor (18118.5)     		tx = 18118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802955627441406 × 216)
    floor (0.802955627441406 × 65536)
    floor (52622.5)     		ty = 52622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18118 / 52622 ti = "16/18118/52622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18118/52622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18118 ÷ 216
    18118 ÷ 65536     		x = 0.276458740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52622 ÷ 216
    52622 ÷ 65536     		y = 0.802947998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276458740234375 × 2 - 1) × π
    -0.44708251953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40455116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802947998046875 × 2 - 1) × π
    -0.60589599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90347841011319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40455116} λ = -1.40455116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90347841011319))-π/2
    2×atan(0.149049262017249)-π/2
    2×0.14796000107746-π/2
    0.29592000215492-1.57079632675     		φ = -1.27487632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40455116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.474854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27487632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.045033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18118 KachelY 52622 -1.40455116 -1.27487632 -80.474854 -73.045033
    Oben rechts KachelX + 1 18119 KachelY 52622 -1.40445529 -1.27487632 -80.469361 -73.045033
    Unten links KachelX 18118 KachelY + 1 52623 -1.40455116 -1.27490428 -80.474854 -73.046635
    Unten rechts KachelX + 1 18119 KachelY + 1 52623 -1.40445529 -1.27490428 -80.469361 -73.046635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27487632--1.27490428) × R
    2.7959999999938e-05 × 6371000     		dl = 178.133159999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27487632--1.27490428) × R
    2.7959999999938e-05 × 6371000     		dr = 178.133159999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40455116--1.40445529) × cos(-1.27487632) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.291619991428859 × 6371000     		do = 178.117924252248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40455116--1.40445529) × cos(-1.27490428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.291593246617109 × 6371000     		du = 178.10158884832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27487632)-sin(-1.27490428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291619991428859-0.291593246617109)×R²
    abs(-1.40445529--1.40455116)×2.67448117492464e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.67448117492464e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.67448117492464e-05×40589641000000     		ar = 31727.2537631648m²