Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18118 / 52294
↖ ↑ ↗
← S 72.511629°
W 80.474854°		 ← 183.55 m → S 72.511629°
W 80.469361°		 →
↑
183.55 m
↓
↑
183.55 m
↓
S 72.513280°
W 80.474854°		 ← 183.53 m →
33 689 m²		 S 72.513280°
W 80.469361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276466369628906 y=0.797950744628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276466369628906 × 216)
    floor (0.276466369628906 × 65536)
    floor (18118.5)     		tx = 18118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797950744628906 × 216)
    floor (0.797950744628906 × 65536)
    floor (52294.5)     		ty = 52294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18118 / 52294 ti = "16/18118/52294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18118/52294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18118 ÷ 216
    18118 ÷ 65536     		x = 0.276458740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52294 ÷ 216
    52294 ÷ 65536     		y = 0.797943115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276458740234375 × 2 - 1) × π
    -0.44708251953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40455116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797943115234375 × 2 - 1) × π
    -0.59588623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.87203180396243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40455116} λ = -1.40455116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87203180396243))-π/2
    2×atan(0.153810830661759)-π/2
    2×0.152614821748726-π/2
    0.305229643497451-1.57079632675     		φ = -1.26556668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40455116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.474854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26556668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.511629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18118 KachelY 52294 -1.40455116 -1.26556668 -80.474854 -72.511629
    Oben rechts KachelX + 1 18119 KachelY 52294 -1.40445529 -1.26556668 -80.469361 -72.511629
    Unten links KachelX 18118 KachelY + 1 52295 -1.40455116 -1.26559549 -80.474854 -72.513280
    Unten rechts KachelX + 1 18119 KachelY + 1 52295 -1.40445529 -1.26559549 -80.469361 -72.513280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26556668--1.26559549) × R
    2.88099999998792e-05 × 6371000     		dl = 183.54850999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26556668--1.26559549) × R
    2.88099999998792e-05 × 6371000     		dr = 183.54850999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40455116--1.40445529) × cos(-1.26556668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300512215184437 × 6371000     		do = 183.549185770258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40455116--1.40445529) × cos(-1.26559549) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300484736716524 × 6371000     		du = 183.532402258119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26556668)-sin(-1.26559549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300512215184437-0.300484736716524)×R²
    abs(-1.40445529--1.40455116)×2.74784679130113e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.74784679130113e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.74784679130113e-05×40589641000000     		ar = 33688.6392676437m²