Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18117 / 51525
↖ ↑ ↗
← S 71.196609°
W 80.480347°		 ← 196.87 m → S 71.196609°
W 80.474854°		 →
↑
196.86 m
↓
↑
196.86 m
↓
S 71.198379°
W 80.480347°		 ← 196.85 m →
38 755 m²		 S 71.198379°
W 80.474854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276451110839844 y=0.786216735839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276451110839844 × 216)
    floor (0.276451110839844 × 65536)
    floor (18117.5)     		tx = 18117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786216735839844 × 216)
    floor (0.786216735839844 × 65536)
    floor (51525.5)     		ty = 51525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18117 / 51525 ti = "16/18117/51525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18117/51525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18117 ÷ 216
    18117 ÷ 65536     		x = 0.276443481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51525 ÷ 216
    51525 ÷ 65536     		y = 0.786209106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276443481445312 × 2 - 1) × π
    -0.447113037109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40464703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786209106445312 × 2 - 1) × π
    -0.572418212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79830485234679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40464703} λ = -1.40464703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79830485234679))-π/2
    2×atan(0.165579331873578)-π/2
    2×0.164090543868288-π/2
    0.328181087736576-1.57079632675     		φ = -1.24261524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40464703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.480347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24261524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.196609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18117 KachelY 51525 -1.40464703 -1.24261524 -80.480347 -71.196609
    Oben rechts KachelX + 1 18118 KachelY 51525 -1.40455116 -1.24261524 -80.474854 -71.196609
    Unten links KachelX 18117 KachelY + 1 51526 -1.40464703 -1.24264614 -80.480347 -71.198379
    Unten rechts KachelX + 1 18118 KachelY + 1 51526 -1.40455116 -1.24264614 -80.474854 -71.198379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24261524--1.24264614) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dl = 196.863900000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24261524--1.24264614) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dr = 196.863900000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40464703--1.40455116) × cos(-1.24261524) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322321724393322 × 6371000     		do = 196.870167264747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40464703--1.40455116) × cos(-1.24264614) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322292473366751 × 6371000     		du = 196.852301095458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24261524)-sin(-1.24264614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322321724393322-0.322292473366751)×R²
    abs(-1.40455116--1.40464703)×2.9251026570809e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9251026570809e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9251026570809e-05×40589641000000     		ar = 38754.870322685m²