Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18117 / 51511
↖ ↑ ↗
← S 71.171805°
W 80.480347°		 ← 197.12 m → S 71.171805°
W 80.474854°		 →
↑
197.12 m
↓
↑
197.12 m
↓
S 71.173578°
W 80.480347°		 ← 197.10 m →
38 854 m²		 S 71.173578°
W 80.474854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276451110839844 y=0.786003112792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276451110839844 × 216)
    floor (0.276451110839844 × 65536)
    floor (18117.5)     		tx = 18117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786003112792969 × 216)
    floor (0.786003112792969 × 65536)
    floor (51511.5)     		ty = 51511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18117 / 51511 ti = "16/18117/51511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18117/51511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18117 ÷ 216
    18117 ÷ 65536     		x = 0.276443481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51511 ÷ 216
    51511 ÷ 65536     		y = 0.785995483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276443481445312 × 2 - 1) × π
    -0.447113037109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40464703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785995483398438 × 2 - 1) × π
    -0.571990966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79696261915743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40464703} λ = -1.40464703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79696261915743))-π/2
    2×atan(0.165801727168075)-π/2
    2×0.16430699680346-π/2
    0.32861399360692-1.57079632675     		φ = -1.24218233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40464703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.480347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24218233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.171805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18117 KachelY 51511 -1.40464703 -1.24218233 -80.480347 -71.171805
    Oben rechts KachelX + 1 18118 KachelY 51511 -1.40455116 -1.24218233 -80.474854 -71.171805
    Unten links KachelX 18117 KachelY + 1 51512 -1.40464703 -1.24221327 -80.480347 -71.173578
    Unten rechts KachelX + 1 18118 KachelY + 1 51512 -1.40455116 -1.24221327 -80.474854 -71.173578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24218233--1.24221327) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dl = 197.118740000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24218233--1.24221327) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dr = 197.118740000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40464703--1.40455116) × cos(-1.24218233) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322731499850313 × 6371000     		do = 197.120453102324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40464703--1.40455116) × cos(-1.24221327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322702215277938 × 6371000     		du = 197.102566443667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24218233)-sin(-1.24221327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322731499850313-0.322702215277938)×R²
    abs(-1.40455116--1.40464703)×2.92845723754986e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92845723754986e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92845723754986e-05×40589641000000     		ar = 38854.3724490068m²