Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18114 / 52620
↖ ↑ ↗
← S 73.041829°
W 80.496826°		 ← 178.15 m → S 73.041829°
W 80.491333°		 →
↑
178.13 m
↓
↑
178.13 m
↓
S 73.043431°
W 80.496826°		 ← 178.13 m →
31 733 m²		 S 73.043431°
W 80.491333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276405334472656 y=0.802925109863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276405334472656 × 216)
    floor (0.276405334472656 × 65536)
    floor (18114.5)     		tx = 18114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802925109863281 × 216)
    floor (0.802925109863281 × 65536)
    floor (52620.5)     		ty = 52620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18114 / 52620 ti = "16/18114/52620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18114/52620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18114 ÷ 216
    18114 ÷ 65536     		x = 0.276397705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52620 ÷ 216
    52620 ÷ 65536     		y = 0.80291748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276397705078125 × 2 - 1) × π
    -0.44720458984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40493465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80291748046875 × 2 - 1) × π
    -0.6058349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.90328666251471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40493465} λ = -1.40493465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90328666251471))-π/2
    2×atan(0.149077844595529)-π/2
    2×0.147987962357688-π/2
    0.295975924715375-1.57079632675     		φ = -1.27482040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40493465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.496826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27482040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.041829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18114 KachelY 52620 -1.40493465 -1.27482040 -80.496826 -73.041829
    Oben rechts KachelX + 1 18115 KachelY 52620 -1.40483878 -1.27482040 -80.491333 -73.041829
    Unten links KachelX 18114 KachelY + 1 52621 -1.40493465 -1.27484836 -80.496826 -73.043431
    Unten rechts KachelX + 1 18115 KachelY + 1 52621 -1.40483878 -1.27484836 -80.491333 -73.043431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27482040--1.27484836) × R
    2.7959999999938e-05 × 6371000     		dl = 178.133159999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27482040--1.27484836) × R
    2.7959999999938e-05 × 6371000     		dr = 178.133159999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40493465--1.40483878) × cos(-1.27482040) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.291673480368404 × 6371000     		do = 178.150594642352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40493465--1.40483878) × cos(-1.27484836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29164673601263 × 6371000     		du = 178.134259516929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27482040)-sin(-1.27484836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291673480368404-0.29164673601263)×R²
    abs(-1.40483878--1.40493465)×2.67443557737113e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.67443557737113e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.67443557737113e-05×40589641000000     		ar = 31733.0734677916m²