Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18114 / 14181
↖ ↑ ↗
← N 80.251066°
W130.248413°		 ← 51.71 m → N 80.251066°
W130.245667°		 →
↑
51.73 m
↓
↑
51.73 m
↓
N 80.250601°
W130.248413°		 ← 51.71 m →
2 675 m²		 N 80.250601°
W130.245667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138202667236328 y=0.108196258544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138202667236328 × 217)
    floor (0.138202667236328 × 131072)
    floor (18114.5)     		tx = 18114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108196258544922 × 217)
    floor (0.108196258544922 × 131072)
    floor (14181.5)     		ty = 14181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18114 / 14181 ti = "17/18114/14181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18114/14181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18114 ÷ 217
    18114 ÷ 131072     		x = 0.138198852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14181 ÷ 217
    14181 ÷ 131072     		y = 0.108192443847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138198852539062 × 2 - 1) × π
    -0.723602294921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.27326365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108192443847656 × 2 - 1) × π
    0.783615112304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.46179947998798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27326365} λ = -2.27326365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46179947998798))-π/2
    2×atan(11.7258930763228)-π/2
    2×1.48572082636421-π/2
    2.97144165272842-1.57079632675     		φ = 1.40064533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27326365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.248413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40064533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.251066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18114 KachelY 14181 -2.27326365 1.40064533 -130.248413 80.251066
    Oben rechts KachelX + 1 18115 KachelY 14181 -2.27321572 1.40064533 -130.245667 80.251066
    Unten links KachelX 18114 KachelY + 1 14182 -2.27326365 1.40063721 -130.248413 80.250601
    Unten rechts KachelX + 1 18115 KachelY + 1 14182 -2.27321572 1.40063721 -130.245667 80.250601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40064533-1.40063721) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dl = 51.7325199996486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40064533-1.40063721) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dr = 51.7325199996486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27326365--2.27321572) × cos(1.40064533) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169331167278651 × 6371000     		do = 51.7073089825102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27326365--2.27321572) × cos(1.40063721) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169339170013851 × 6371000     		du = 51.7097527139765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40064533)-sin(1.40063721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169331167278651-0.169339170013851)×R²
    abs(-2.27321572--2.27326365)×8.0027352001022e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.0027352001022e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.0027352001022e-06×40589641000000     		ar = 2675.0126062265m²