Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18113 / 52292
↖ ↑ ↗
← S 72.508328°
W 80.502319°		 ← 183.60 m → S 72.508328°
W 80.496826°		 →
↑
183.55 m
↓
↑
183.55 m
↓
S 72.509979°
W 80.502319°		 ← 183.59 m →
33 698 m²		 S 72.509979°
W 80.496826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276390075683594 y=0.797920227050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276390075683594 × 216)
    floor (0.276390075683594 × 65536)
    floor (18113.5)     		tx = 18113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797920227050781 × 216)
    floor (0.797920227050781 × 65536)
    floor (52292.5)     		ty = 52292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18113 / 52292 ti = "16/18113/52292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18113/52292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18113 ÷ 216
    18113 ÷ 65536     		x = 0.276382446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52292 ÷ 216
    52292 ÷ 65536     		y = 0.79791259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276382446289062 × 2 - 1) × π
    -0.447235107421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40503053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79791259765625 × 2 - 1) × π
    -0.5958251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.87184005636395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40503053} λ = -1.40503053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87184005636395))-π/2
    2×atan(0.153840326346932)-π/2
    2×0.152643635630924-π/2
    0.305287271261848-1.57079632675     		φ = -1.26550906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40503053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.502319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26550906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.508328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18113 KachelY 52292 -1.40503053 -1.26550906 -80.502319 -72.508328
    Oben rechts KachelX + 1 18114 KachelY 52292 -1.40493465 -1.26550906 -80.496826 -72.508328
    Unten links KachelX 18113 KachelY + 1 52293 -1.40503053 -1.26553787 -80.502319 -72.509979
    Unten rechts KachelX + 1 18114 KachelY + 1 52293 -1.40493465 -1.26553787 -80.496826 -72.509979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26550906--1.26553787) × R
    2.88099999998792e-05 × 6371000     		dl = 183.54850999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26550906--1.26553787) × R
    2.88099999998792e-05 × 6371000     		dr = 183.54850999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40503053--1.40493465) × cos(-1.26550906) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.30056717137195 × 6371000     		do = 183.601901472274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40503053--1.40493465) × cos(-1.26553787) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.30053969340292 × 6371000     		du = 183.585116514225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26550906)-sin(-1.26553787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30056717137195-0.30053969340292)×R²
    abs(-1.40493465--1.40503053)×2.74779690302429e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.74779690302429e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.74779690302429e-05×40589641000000     		ar = 33698.315023902m²