Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18112 / 52288
↖ ↑ ↗
← S 72.501722°
W 80.507812°		 ← 183.65 m → S 72.501722°
W 80.502319°		 →
↑
183.61 m
↓
↑
183.61 m
↓
S 72.503374°
W 80.507812°		 ← 183.63 m →
33 719 m²		 S 72.503374°
W 80.502319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276374816894531 y=0.797859191894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276374816894531 × 216)
    floor (0.276374816894531 × 65536)
    floor (18112.5)     		tx = 18112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797859191894531 × 216)
    floor (0.797859191894531 × 65536)
    floor (52288.5)     		ty = 52288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18112 / 52288 ti = "16/18112/52288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18112/52288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18112 ÷ 216
    18112 ÷ 65536     		x = 0.2763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52288 ÷ 216
    52288 ÷ 65536     		y = 0.7978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2763671875 × 2 - 1) × π
    -0.447265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40512640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7978515625 × 2 - 1) × π
    -0.595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.87145656116699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40512640} λ = -1.40512640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87145656116699))-π/2
    2×atan(0.153899334687169)-π/2
    2×0.152701279206196-π/2
    0.305402558412392-1.57079632675     		φ = -1.26539377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40512640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.507812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26539377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.501722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18112 KachelY 52288 -1.40512640 -1.26539377 -80.507812 -72.501722
    Oben rechts KachelX + 1 18113 KachelY 52288 -1.40503053 -1.26539377 -80.502319 -72.501722
    Unten links KachelX 18112 KachelY + 1 52289 -1.40512640 -1.26542259 -80.507812 -72.503374
    Unten rechts KachelX + 1 18113 KachelY + 1 52289 -1.40503053 -1.26542259 -80.502319 -72.503374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26539377--1.26542259) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dl = 183.612220000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26539377--1.26542259) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dr = 183.612220000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40512640--1.40503053) × cos(-1.26539377) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300677128439388 × 6371000     		do = 183.649912769493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40512640--1.40503053) × cos(-1.26542259) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300649641931483 × 6371000     		du = 183.633124346625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26539377)-sin(-1.26542259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300677128439388-0.300649641931483)×R²
    abs(-1.40503053--1.40512640)×2.74865079046283e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.74865079046283e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.74865079046283e-05×40589641000000     		ar = 33718.8269088975m²