Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18112 / 22848
↖ ↑ ↗
← N 75.275413°
W130.253906°		 ← 77.63 m → N 75.275413°
W130.251160°		 →
↑
77.66 m
↓
↑
77.66 m
↓
N 75.274714°
W130.253906°		 ← 77.63 m →
6 029 m²		 N 75.274714°
W130.251160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138187408447266 y=0.174320220947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138187408447266 × 217)
    floor (0.138187408447266 × 131072)
    floor (18112.5)     		tx = 18112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.174320220947266 × 217)
    floor (0.174320220947266 × 131072)
    floor (22848.5)     		ty = 22848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18112 / 22848 ti = "17/18112/22848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18112/22848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18112 ÷ 217
    18112 ÷ 131072     		x = 0.13818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22848 ÷ 217
    22848 ÷ 131072     		y = 0.17431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13818359375 × 2 - 1) × π
    -0.7236328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.27335953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17431640625 × 2 - 1) × π
    0.6513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.04633037098096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27335953} λ = -2.27335953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04633037098096))-π/2
    2×atan(7.73944802903853)-π/2
    2×1.44230006129533-π/2
    2.88460012259066-1.57079632675     		φ = 1.31380380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27335953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.253906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31380380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.275413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18112 KachelY 22848 -2.27335953 1.31380380 -130.253906 75.275413
    Oben rechts KachelX + 1 18113 KachelY 22848 -2.27331159 1.31380380 -130.251160 75.275413
    Unten links KachelX 18112 KachelY + 1 22849 -2.27335953 1.31379161 -130.253906 75.274714
    Unten rechts KachelX + 1 18113 KachelY + 1 22849 -2.27331159 1.31379161 -130.251160 75.274714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31380380-1.31379161) × R
    1.21900000000785e-05 × 6371000     		dl = 77.6624900005003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31380380-1.31379161) × R
    1.21900000000785e-05 × 6371000     		dr = 77.6624900005003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27335953--2.27331159) × cos(1.31380380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.254173001676135 × 6371000     		do = 77.6309771249039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27335953--2.27331159) × cos(1.31379161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.254184791322649 × 6371000     		du = 77.6345779864148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31380380)-sin(1.31379161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.254173001676135-0.254184791322649)×R²
    abs(-2.27331159--2.27335953)×1.17896465141598e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.17896465141598e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.17896465141598e-05×40589641000000     		ar = 6029.15481054641m²