Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18111 / 52291
↖ ↑ ↗
← S 72.506677°
W 80.513306°		 ← 183.62 m → S 72.506677°
W 80.507812°		 →
↑
183.61 m
↓
↑
183.61 m
↓
S 72.508328°
W 80.513306°		 ← 183.60 m →
33 713 m²		 S 72.508328°
W 80.507812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276359558105469 y=0.797904968261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276359558105469 × 216)
    floor (0.276359558105469 × 65536)
    floor (18111.5)     		tx = 18111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797904968261719 × 216)
    floor (0.797904968261719 × 65536)
    floor (52291.5)     		ty = 52291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18111 / 52291 ti = "16/18111/52291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18111/52291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18111 ÷ 216
    18111 ÷ 65536     		x = 0.276351928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52291 ÷ 216
    52291 ÷ 65536     		y = 0.797897338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276351928710938 × 2 - 1) × π
    -0.447296142578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40522228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797897338867188 × 2 - 1) × π
    -0.595794677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.87174418256471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40522228} λ = -1.40522228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87174418256471))-π/2
    2×atan(0.153855076310551)-π/2
    2×0.15265804454822-π/2
    0.305316089096439-1.57079632675     		φ = -1.26548024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40522228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.513306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26548024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.506677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18111 KachelY 52291 -1.40522228 -1.26548024 -80.513306 -72.506677
    Oben rechts KachelX + 1 18112 KachelY 52291 -1.40512640 -1.26548024 -80.507812 -72.506677
    Unten links KachelX 18111 KachelY + 1 52292 -1.40522228 -1.26550906 -80.513306 -72.508328
    Unten rechts KachelX + 1 18112 KachelY + 1 52292 -1.40512640 -1.26550906 -80.507812 -72.508328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26548024--1.26550906) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dl = 183.612220000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26548024--1.26550906) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dr = 183.612220000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40522228--1.40512640) × cos(-1.26548024) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.300594658629025 × 6371000     		do = 183.618692103514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40522228--1.40512640) × cos(-1.26550906) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.30056717137195 × 6371000     		du = 183.601901471849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26548024)-sin(-1.26550906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300594658629025-0.30056717137195)×R²
    abs(-1.40512640--1.40522228)×2.74872570746876e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.74872570746876e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.74872570746876e-05×40589641000000     		ar = 33713.0942101941m²