Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18111 / 52287
↖ ↑ ↗
← S 72.500071°
W 80.513306°		 ← 183.69 m → S 72.500071°
W 80.507812°		 →
↑
183.68 m
↓
↑
183.68 m
↓
S 72.501722°
W 80.513306°		 ← 183.67 m →
33 737 m²		 S 72.501722°
W 80.507812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276359558105469 y=0.797843933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276359558105469 × 216)
    floor (0.276359558105469 × 65536)
    floor (18111.5)     		tx = 18111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797843933105469 × 216)
    floor (0.797843933105469 × 65536)
    floor (52287.5)     		ty = 52287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18111 / 52287 ti = "16/18111/52287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18111/52287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18111 ÷ 216
    18111 ÷ 65536     		x = 0.276351928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52287 ÷ 216
    52287 ÷ 65536     		y = 0.797836303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276351928710938 × 2 - 1) × π
    -0.447296142578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40522228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797836303710938 × 2 - 1) × π
    -0.595672607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.87136068736775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40522228} λ = -1.40522228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87136068736775))-π/2
    2×atan(0.153914090308413)-π/2
    2×0.152715693394579-π/2
    0.305431386789158-1.57079632675     		φ = -1.26536494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40522228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.513306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26536494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.500071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18111 KachelY 52287 -1.40522228 -1.26536494 -80.513306 -72.500071
    Oben rechts KachelX + 1 18112 KachelY 52287 -1.40512640 -1.26536494 -80.507812 -72.500071
    Unten links KachelX 18111 KachelY + 1 52288 -1.40522228 -1.26539377 -80.513306 -72.501722
    Unten rechts KachelX + 1 18112 KachelY + 1 52288 -1.40512640 -1.26539377 -80.507812 -72.501722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26536494--1.26539377) × R
    2.88299999999797e-05 × 6371000     		dl = 183.675929999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26536494--1.26539377) × R
    2.88299999999797e-05 × 6371000     		dr = 183.675929999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40522228--1.40512640) × cos(-1.26536494) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.300704624234726 × 6371000     		do = 183.685864756506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40522228--1.40512640) × cos(-1.26539377) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.300677128439388 × 6371000     		du = 183.66906890923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26536494)-sin(-1.26539377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300704624234726-0.300677128439388)×R²
    abs(-1.40512640--1.40522228)×2.74957953376731e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.74957953376731e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.74957953376731e-05×40589641000000     		ar = 33737.1295427602m²