Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18111 / 22850
↖ ↑ ↗
← N 75.274017°
W130.256653°		 ← 77.62 m → N 75.274017°
W130.253906°		 →
↑
77.66 m
↓
↑
77.66 m
↓
N 75.273318°
W130.256653°		 ← 77.63 m →
6 028 m²		 N 75.273318°
W130.253906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138179779052734 y=0.174335479736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138179779052734 × 217)
    floor (0.138179779052734 × 131072)
    floor (18111.5)     		tx = 18111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.174335479736328 × 217)
    floor (0.174335479736328 × 131072)
    floor (22850.5)     		ty = 22850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18111 / 22850 ti = "17/18111/22850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18111/22850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18111 ÷ 217
    18111 ÷ 131072     		x = 0.138175964355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22850 ÷ 217
    22850 ÷ 131072     		y = 0.174331665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138175964355469 × 2 - 1) × π
    -0.723648071289062 × 3.1415926535     		Λ = -2.27340746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.174331665039062 × 2 - 1) × π
    0.651336669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.04623449718172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27340746} λ = -2.27340746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04623449718172))-π/2
    2×atan(7.7387060543205)-π/2
    2×1.44228787646456-π/2
    2.88457575292911-1.57079632675     		φ = 1.31377943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27340746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.256653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31377943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.274017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18111 KachelY 22850 -2.27340746 1.31377943 -130.256653 75.274017
    Oben rechts KachelX + 1 18112 KachelY 22850 -2.27335953 1.31377943 -130.253906 75.274017
    Unten links KachelX 18111 KachelY + 1 22851 -2.27340746 1.31376724 -130.256653 75.273318
    Unten rechts KachelX + 1 18112 KachelY + 1 22851 -2.27335953 1.31376724 -130.253906 75.273318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31377943-1.31376724) × R
    1.21900000000785e-05 × 6371000     		dl = 77.6624900005003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31377943-1.31376724) × R
    1.21900000000785e-05 × 6371000     		dr = 77.6624900005003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27340746--2.27335953) × cos(1.31377943) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.254196571259867 × 6371000     		do = 77.621981019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27340746--2.27335953) × cos(1.31376724) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.254208360830868 × 6371000     		du = 77.6255811063339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31377943)-sin(1.31376724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.254196571259867-0.254208360830868)×R²
    abs(-2.27335953--2.27340746)×1.17895710016191e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.17895710016191e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.17895710016191e-05×40589641000000     		ar = 6028.45612064478m²