Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18111 / 22335
↖ ↑ ↗
← N 75.629314°
W130.256653°		 ← 75.79 m → N 75.629314°
W130.253906°		 →
↑
75.81 m
↓
↑
75.81 m
↓
N 75.628632°
W130.256653°		 ← 75.79 m →
5 746 m²		 N 75.628632°
W130.253906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138179779052734 y=0.170406341552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138179779052734 × 217)
    floor (0.138179779052734 × 131072)
    floor (18111.5)     		tx = 18111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170406341552734 × 217)
    floor (0.170406341552734 × 131072)
    floor (22335.5)     		ty = 22335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18111 / 22335 ti = "17/18111/22335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18111/22335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18111 ÷ 217
    18111 ÷ 131072     		x = 0.138175964355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22335 ÷ 217
    22335 ÷ 131072     		y = 0.170402526855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138175964355469 × 2 - 1) × π
    -0.723648071289062 × 3.1415926535     		Λ = -2.27340746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.170402526855469 × 2 - 1) × π
    0.659194946289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.07092200048605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27340746} λ = -2.27340746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07092200048605))-π/2
    2×atan(7.93213317803765)-π/2
    2×1.44538843298199-π/2
    2.89077686596397-1.57079632675     		φ = 1.31998054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27340746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.256653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31998054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.629314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18111 KachelY 22335 -2.27340746 1.31998054 -130.256653 75.629314
    Oben rechts KachelX + 1 18112 KachelY 22335 -2.27335953 1.31998054 -130.253906 75.629314
    Unten links KachelX 18111 KachelY + 1 22336 -2.27340746 1.31996864 -130.256653 75.628632
    Unten rechts KachelX + 1 18112 KachelY + 1 22336 -2.27335953 1.31996864 -130.253906 75.628632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31998054-1.31996864) × R
    1.19000000000646e-05 × 6371000     		dl = 75.8149000004118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31998054-1.31996864) × R
    1.19000000000646e-05 × 6371000     		dr = 75.8149000004118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27340746--2.27335953) × cos(1.31998054) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.248194302801229 × 6371000     		do = 75.7891161378644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27340746--2.27335953) × cos(1.31996864) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.248205830435874 × 6371000     		du = 75.7926362397806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31998054)-sin(1.31996864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248194302801229-0.248205830435874)×R²
    abs(-2.27335953--2.27340746)×1.15276346446258e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.15276346446258e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.15276346446258e-05×40589641000000     		ar = 5746.07769930359m²