Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18110 / 52286
↖ ↑ ↗
← S 72.498419°
W 80.518799°		 ← 183.68 m → S 72.498419°
W 80.513306°		 →
↑
183.68 m
↓
↑
183.68 m
↓
S 72.500071°
W 80.518799°		 ← 183.67 m →
33 737 m²		 S 72.500071°
W 80.513306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276344299316406 y=0.797828674316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276344299316406 × 216)
    floor (0.276344299316406 × 65536)
    floor (18110.5)     		tx = 18110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797828674316406 × 216)
    floor (0.797828674316406 × 65536)
    floor (52286.5)     		ty = 52286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18110 / 52286 ti = "16/18110/52286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18110/52286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18110 ÷ 216
    18110 ÷ 65536     		x = 0.276336669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52286 ÷ 216
    52286 ÷ 65536     		y = 0.797821044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.44732666015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40531815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797821044921875 × 2 - 1) × π
    -0.59564208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.87126481356851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40531815} λ = -1.40531815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87126481356851))-π/2
    2×atan(0.153928847344403)-π/2
    2×0.152730108901006-π/2
    0.305460217802012-1.57079632675     		φ = -1.26533611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40531815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.518799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26533611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.498419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18110 KachelY 52286 -1.40531815 -1.26533611 -80.518799 -72.498419
    Oben rechts KachelX + 1 18111 KachelY 52286 -1.40522228 -1.26533611 -80.513306 -72.498419
    Unten links KachelX 18110 KachelY + 1 52287 -1.40531815 -1.26536494 -80.518799 -72.500071
    Unten rechts KachelX + 1 18111 KachelY + 1 52287 -1.40522228 -1.26536494 -80.513306 -72.500071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26533611--1.26536494) × R
    2.88299999999797e-05 × 6371000     		dl = 183.675929999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26533611--1.26536494) × R
    2.88299999999797e-05 × 6371000     		dr = 183.675929999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40531815--1.40522228) × cos(-1.26533611) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300732119780127 × 6371000     		do = 183.683500807873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40531815--1.40522228) × cos(-1.26536494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300704624234726 × 6371000     		du = 183.666706865012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26533611)-sin(-1.26536494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300732119780127-0.300704624234726)×R²
    abs(-1.40522228--1.40531815)×2.74955454013237e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.74955454013237e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.74955454013237e-05×40589641000000     		ar = 33736.6955174354m²