Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18110 / 22851
↖ ↑ ↗
← N 75.273318°
W130.259399°		 ← 77.64 m → N 75.273318°
W130.256653°		 →
↑
77.66 m
↓
↑
77.66 m
↓
N 75.272620°
W130.259399°		 ← 77.65 m →
6 030 m²		 N 75.272620°
W130.256653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138172149658203 y=0.174343109130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138172149658203 × 217)
    floor (0.138172149658203 × 131072)
    floor (18110.5)     		tx = 18110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.174343109130859 × 217)
    floor (0.174343109130859 × 131072)
    floor (22851.5)     		ty = 22851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18110 / 22851 ti = "17/18110/22851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18110/22851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18110 ÷ 217
    18110 ÷ 131072     		x = 0.138168334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22851 ÷ 217
    22851 ÷ 131072     		y = 0.174339294433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138168334960938 × 2 - 1) × π
    -0.723663330078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.27345540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.174339294433594 × 2 - 1) × π
    0.651321411132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.0461865602821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27345540} λ = -2.27345540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0461865602821))-π/2
    2×atan(7.73833509363661)-π/2
    2×1.44228178362547-π/2
    2.88456356725094-1.57079632675     		φ = 1.31376724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27345540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.259399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31376724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.273318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18110 KachelY 22851 -2.27345540 1.31376724 -130.259399 75.273318
    Oben rechts KachelX + 1 18111 KachelY 22851 -2.27340746 1.31376724 -130.256653 75.273318
    Unten links KachelX 18110 KachelY + 1 22852 -2.27345540 1.31375505 -130.259399 75.272620
    Unten rechts KachelX + 1 18111 KachelY + 1 22852 -2.27340746 1.31375505 -130.256653 75.272620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31376724-1.31375505) × R
    1.21900000000785e-05 × 6371000     		dl = 77.6624900005003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31376724-1.31375505) × R
    1.21900000000785e-05 × 6371000     		dr = 77.6624900005003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27345540--2.27340746) × cos(1.31376724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.254208360830868 × 6371000     		do = 77.641776720904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27345540--2.27340746) × cos(1.31375505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.254220150364096 × 6371000     		du = 77.6453775478142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31376724)-sin(1.31375505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.254208360830868-0.254220150364096)×R²
    abs(-2.27340746--2.27345540)×1.17895332272799e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.17895332272799e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.17895332272799e-05×40589641000000     		ar = 6029.99353299408m²