Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18110 / 19694
↖ ↑ ↗
← S 34.143635°
E 18.962402°		 ← 1 011.07 m → S 34.143635°
E 18.973389°		 →
↑
1 010.95 m
↓
↑
1 010.95 m
↓
S 34.152727°
E 18.962402°		 ← 1 010.96 m →
1 022 086 m²		 S 34.152727°
E 18.973389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552688598632812 y=0.601028442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552688598632812 × 215)
    floor (0.552688598632812 × 32768)
    floor (18110.5)     		tx = 18110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601028442382812 × 215)
    floor (0.601028442382812 × 32768)
    floor (19694.5)     		ty = 19694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18110 / 19694 ti = "15/18110/19694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18110/19694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18110 ÷ 215
    18110 ÷ 32768     		x = 0.55267333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19694 ÷ 215
    19694 ÷ 32768     		y = 0.60101318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55267333984375 × 2 - 1) × π
    0.1053466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.33095635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60101318359375 × 2 - 1) × π
    -0.2020263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.634684550969543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33095635} λ = 0.33095635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.634684550969543))-π/2
    2×atan(0.53010268232277)-π/2
    2×0.487438740298436-π/2
    0.974877480596873-1.57079632675     		φ = -0.59591885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33095635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.962402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59591885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.143635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18110 KachelY 19694 0.33095635 -0.59591885 18.962402 -34.143635
    Oben rechts KachelX + 1 18111 KachelY 19694 0.33114810 -0.59591885 18.973389 -34.143635
    Unten links KachelX 18110 KachelY + 1 19695 0.33095635 -0.59607753 18.962402 -34.152727
    Unten rechts KachelX + 1 18111 KachelY + 1 19695 0.33114810 -0.59607753 18.973389 -34.152727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59591885--0.59607753) × R
    0.000158679999999967 × 6371000     		dl = 1010.95027999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59591885--0.59607753) × R
    0.000158679999999967 × 6371000     		dr = 1010.95027999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33095635-0.33114810) × cos(-0.59591885) × R
    0.000191749999999991 × 0.827633125846203 × 6371000     		do = 1011.06911113386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33095635-0.33114810) × cos(-0.59607753) × R
    0.000191749999999991 × 0.827544053188714 × 6371000     		du = 1010.96029647937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59591885)-sin(-0.59607753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.827633125846203-0.827544053188714)×R²
    abs(0.33114810-0.33095635)×8.90726574893641e-05×R²
    0.000191749999999991×8.90726574893641e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.90726574893641e-05×40589641000000     		ar = 1022085.60004199m²