Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18109 / 52599
↖ ↑ ↗
← S 73.008150°
W 80.524292°		 ← 178.49 m → S 73.008150°
W 80.518799°		 →
↑
178.45 m
↓
↑
178.45 m
↓
S 73.009755°
W 80.524292°		 ← 178.48 m →
31 851 m²		 S 73.009755°
W 80.518799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276329040527344 y=0.802604675292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276329040527344 × 216)
    floor (0.276329040527344 × 65536)
    floor (18109.5)     		tx = 18109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802604675292969 × 216)
    floor (0.802604675292969 × 65536)
    floor (52599.5)     		ty = 52599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18109 / 52599 ti = "16/18109/52599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18109/52599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18109 ÷ 216
    18109 ÷ 65536     		x = 0.276321411132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52599 ÷ 216
    52599 ÷ 65536     		y = 0.802597045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276321411132812 × 2 - 1) × π
    -0.447357177734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40541402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802597045898438 × 2 - 1) × π
    -0.605194091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90127331273067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40541402} λ = -1.40541402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90127331273067))-π/2
    2×atan(0.149378292793918)-π/2
    2×0.14828186561752-π/2
    0.296563731235039-1.57079632675     		φ = -1.27423260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40541402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.524292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27423260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.008150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18109 KachelY 52599 -1.40541402 -1.27423260 -80.524292 -73.008150
    Oben rechts KachelX + 1 18110 KachelY 52599 -1.40531815 -1.27423260 -80.518799 -73.008150
    Unten links KachelX 18109 KachelY + 1 52600 -1.40541402 -1.27426061 -80.524292 -73.009755
    Unten rechts KachelX + 1 18110 KachelY + 1 52600 -1.40531815 -1.27426061 -80.518799 -73.009755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27423260--1.27426061) × R
    2.80100000000783e-05 × 6371000     		dl = 178.451710000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27423260--1.27426061) × R
    2.80100000000783e-05 × 6371000     		dr = 178.451710000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40541402--1.40531815) × cos(-1.27423260) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292235671196753 × 6371000     		do = 178.493973924714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40541402--1.40531815) × cos(-1.27426061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292208883821274 × 6371000     		du = 178.477612523381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27423260)-sin(-1.27426061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292235671196753-0.292208883821274)×R²
    abs(-1.40531815--1.40541402)×2.67873754783432e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.67873754783432e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.67873754783432e-05×40589641000000     		ar = 31851.0950135495m²