Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18109 / 22477
↖ ↑ ↗
← N 75.532195°
W130.262146°		 ← 76.31 m → N 75.532195°
W130.259399°		 →
↑
76.32 m
↓
↑
76.32 m
↓
N 75.531508°
W130.262146°		 ← 76.31 m →
5 824 m²		 N 75.531508°
W130.259399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138164520263672 y=0.171489715576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138164520263672 × 217)
    floor (0.138164520263672 × 131072)
    floor (18109.5)     		tx = 18109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171489715576172 × 217)
    floor (0.171489715576172 × 131072)
    floor (22477.5)     		ty = 22477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18109 / 22477 ti = "17/18109/22477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18109/22477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18109 ÷ 217
    18109 ÷ 131072     		x = 0.138160705566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22477 ÷ 217
    22477 ÷ 131072     		y = 0.171485900878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138160705566406 × 2 - 1) × π
    -0.723678588867188 × 3.1415926535     		Λ = -2.27350334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171485900878906 × 2 - 1) × π
    0.657028198242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.06411496074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27350334} λ = -2.27350334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06411496074))-π/2
    2×atan(7.87832218678299)-π/2
    2×1.44454090790102-π/2
    2.88908181580204-1.57079632675     		φ = 1.31828549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27350334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.262146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31828549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.532195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18109 KachelY 22477 -2.27350334 1.31828549 -130.262146 75.532195
    Oben rechts KachelX + 1 18110 KachelY 22477 -2.27345540 1.31828549 -130.259399 75.532195
    Unten links KachelX 18109 KachelY + 1 22478 -2.27350334 1.31827351 -130.262146 75.531508
    Unten rechts KachelX + 1 18110 KachelY + 1 22478 -2.27345540 1.31827351 -130.259399 75.531508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31828549-1.31827351) × R
    1.19800000000225e-05 × 6371000     		dl = 76.3245800001435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31828549-1.31827351) × R
    1.19800000000225e-05 × 6371000     		dr = 76.3245800001435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27350334--2.27345540) × cos(1.31828549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.249835957803668 × 6371000     		do = 76.3063322907441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27350334--2.27345540) × cos(1.31827351) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.249847557878103 × 6371000     		du = 76.3098752520624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31828549)-sin(1.31827351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249835957803668-0.249847557878103)×R²
    abs(-2.27345540--2.27350334)×1.16000744348199e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.16000744348199e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.16000744348199e-05×40589641000000     		ar = 5824.18397085572m²