Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18109 / 19693
↖ ↑ ↗
← S 34.134542°
E 18.951416°		 ← 1 011.13 m → S 34.134542°
E 18.962402°		 →
↑
1 011.14 m
↓
↑
1 011.14 m
↓
S 34.143635°
E 18.951416°		 ← 1 011.02 m →
1 022 336 m²		 S 34.143635°
E 18.962402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552658081054688 y=0.600997924804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552658081054688 × 215)
    floor (0.552658081054688 × 32768)
    floor (18109.5)     		tx = 18109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600997924804688 × 215)
    floor (0.600997924804688 × 32768)
    floor (19693.5)     		ty = 19693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18109 / 19693 ti = "15/18109/19693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18109/19693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18109 ÷ 215
    18109 ÷ 32768     		x = 0.552642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19693 ÷ 215
    19693 ÷ 32768     		y = 0.600982666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552642822265625 × 2 - 1) × π
    0.10528564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.33076461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600982666015625 × 2 - 1) × π
    -0.20196533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.634492803371063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33076461} λ = 0.33076461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.634492803371063))-π/2
    2×atan(0.530204337984856)-π/2
    2×0.487518092900429-π/2
    0.975036185800857-1.57079632675     		φ = -0.59576014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33076461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.951416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59576014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.134542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18109 KachelY 19693 0.33076461 -0.59576014 18.951416 -34.134542
    Oben rechts KachelX + 1 18110 KachelY 19693 0.33095635 -0.59576014 18.962402 -34.134542
    Unten links KachelX 18109 KachelY + 1 19694 0.33076461 -0.59591885 18.951416 -34.143635
    Unten rechts KachelX + 1 18110 KachelY + 1 19694 0.33095635 -0.59591885 18.962402 -34.143635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59576014--0.59591885) × R
    0.000158710000000006 × 6371000     		dl = 1011.14141000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59576014--0.59591885) × R
    0.000158710000000006 × 6371000     		dr = 1011.14141000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33076461-0.33095635) × cos(-0.59576014) × R
    0.000191739999999996 × 0.827722194498578 × 6371000     		do = 1011.12518671456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33076461-0.33095635) × cos(-0.59591885) × R
    0.000191739999999996 × 0.827633125846203 × 6371000     		du = 1011.01638262744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59576014)-sin(-0.59591885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.827722194498578-0.827633125846203)×R²
    abs(0.33095635-0.33076461)×8.90686523749018e-05×R²
    0.000191739999999996×8.90686523749018e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.90686523749018e-05×40589641000000     		ar = 1022335.54096809m²