Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18106 / 24118
↖ ↑ ↗
← S 64.425408°
E 18.918457°		 ← 527.36 m → S 64.425408°
E 18.929443°		 →
↑
527.33 m
↓
↑
527.33 m
↓
S 64.430151°
E 18.918457°		 ← 527.27 m →
278 070 m²		 S 64.430151°
E 18.929443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552566528320312 y=0.736038208007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552566528320312 × 215)
    floor (0.552566528320312 × 32768)
    floor (18106.5)     		tx = 18106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736038208007812 × 215)
    floor (0.736038208007812 × 32768)
    floor (24118.5)     		ty = 24118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18106 / 24118 ti = "15/18106/24118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18106/24118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18106 ÷ 215
    18106 ÷ 32768     		x = 0.55255126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24118 ÷ 215
    24118 ÷ 32768     		y = 0.73602294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55255126953125 × 2 - 1) × π
    0.1051025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.33018936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.4720458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48297592664606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33018936} λ = 0.33018936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48297592664606))-π/2
    2×atan(0.226961262317692)-π/2
    2×0.223180414143512-π/2
    0.446360828287024-1.57079632675     		φ = -1.12443550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33018936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.918457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12443550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.425408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18106 KachelY 24118 0.33018936 -1.12443550 18.918457 -64.425408
    Oben rechts KachelX + 1 18107 KachelY 24118 0.33038111 -1.12443550 18.929443 -64.425408
    Unten links KachelX 18106 KachelY + 1 24119 0.33018936 -1.12451827 18.918457 -64.430151
    Unten rechts KachelX + 1 18107 KachelY + 1 24119 0.33038111 -1.12451827 18.929443 -64.430151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12443550--1.12451827) × R
    8.27700000001208e-05 × 6371000     		dl = 527.32767000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12443550--1.12451827) × R
    8.27700000001208e-05 × 6371000     		dr = 527.32767000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33018936-0.33038111) × cos(-1.12443550) × R
    0.000191749999999991 × 0.431685778129078 × 6371000     		do = 527.364290229247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33018936-0.33038111) × cos(-1.12451827) × R
    0.000191749999999991 × 0.431611116119732 × 6371000     		du = 527.273080188147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12443550)-sin(-1.12451827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431685778129078-0.431611116119732)×R²
    abs(0.33038111-0.33018936)×7.4662009345694e-05×R²
    0.000191749999999991×7.4662009345694e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.4662009345694e-05×40589641000000     		ar = 278069.733777314m²