Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18105 / 52617
↖ ↑ ↗
← S 73.037021°
W 80.546265°		 ← 178.22 m → S 73.037021°
W 80.540771°		 →
↑
178.20 m
↓
↑
178.20 m
↓
S 73.038624°
W 80.546265°		 ← 178.20 m →
31 756 m²		 S 73.038624°
W 80.540771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276268005371094 y=0.802879333496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276268005371094 × 216)
    floor (0.276268005371094 × 65536)
    floor (18105.5)     		tx = 18105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802879333496094 × 216)
    floor (0.802879333496094 × 65536)
    floor (52617.5)     		ty = 52617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18105 / 52617 ti = "16/18105/52617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18105/52617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18105 ÷ 216
    18105 ÷ 65536     		x = 0.276260375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52617 ÷ 216
    52617 ÷ 65536     		y = 0.802871704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276260375976562 × 2 - 1) × π
    -0.447479248046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40579752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802871704101562 × 2 - 1) × π
    -0.605743408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90299904111699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40579752} λ = -1.40579752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90299904111699))-π/2
    2×atan(0.149120728740464)-π/2
    2×0.148029913894888-π/2
    0.296059827789775-1.57079632675     		φ = -1.27473650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40579752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.546265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27473650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.037021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18105 KachelY 52617 -1.40579752 -1.27473650 -80.546265 -73.037021
    Oben rechts KachelX + 1 18106 KachelY 52617 -1.40570164 -1.27473650 -80.540771 -73.037021
    Unten links KachelX 18105 KachelY + 1 52618 -1.40579752 -1.27476447 -80.546265 -73.038624
    Unten rechts KachelX + 1 18106 KachelY + 1 52618 -1.40570164 -1.27476447 -80.540771 -73.038624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27473650--1.27476447) × R
    2.79700000000993e-05 × 6371000     		dl = 178.196870000633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27473650--1.27476447) × R
    2.79700000000993e-05 × 6371000     		dr = 178.196870000633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40579752--1.40570164) × cos(-1.27473650) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.291753731197397 × 6371000     		do = 178.218198497335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40579752--1.40570164) × cos(-1.27476447) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.29172697796089 × 6371000     		du = 178.20185624322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27473650)-sin(-1.27476447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291753731197397-0.29172697796089)×R²
    abs(-1.40570164--1.40579752)×2.67532365068601e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.67532365068601e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.67532365068601e-05×40589641000000     		ar = 31756.4690823839m²