Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18104 / 52328
↖ ↑ ↗
← S 72.567668°
W 80.551758°		 ← 182.98 m → S 72.567668°
W 80.546265°		 →
↑
182.98 m
↓
↑
182.98 m
↓
S 72.569314°
W 80.551758°		 ← 182.96 m →
33 479 m²		 S 72.569314°
W 80.546265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276252746582031 y=0.798469543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276252746582031 × 216)
    floor (0.276252746582031 × 65536)
    floor (18104.5)     		tx = 18104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798469543457031 × 216)
    floor (0.798469543457031 × 65536)
    floor (52328.5)     		ty = 52328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18104 / 52328 ti = "16/18104/52328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18104/52328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18104 ÷ 216
    18104 ÷ 65536     		x = 0.2762451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52328 ÷ 216
    52328 ÷ 65536     		y = 0.7984619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.447509765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40589339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7984619140625 × 2 - 1) × π
    -0.596923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.8752915131366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40589339} λ = -1.40589339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8752915131366))-π/2
    2×atan(0.153310268372943)-π/2
    2×0.152125791220968-π/2
    0.304251582441936-1.57079632675     		φ = -1.26654474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40589339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.551758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26654474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.567668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18104 KachelY 52328 -1.40589339 -1.26654474 -80.551758 -72.567668
    Oben rechts KachelX + 1 18105 KachelY 52328 -1.40579752 -1.26654474 -80.546265 -72.567668
    Unten links KachelX 18104 KachelY + 1 52329 -1.40589339 -1.26657346 -80.551758 -72.569314
    Unten rechts KachelX + 1 18105 KachelY + 1 52329 -1.40579752 -1.26657346 -80.546265 -72.569314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26654474--1.26657346) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dl = 182.975119999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26654474--1.26657346) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dr = 182.975119999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40589339--1.40579752) × cos(-1.26654474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.299579219520503 × 6371000     		do = 182.979323429264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40589339--1.40579752) × cos(-1.26657346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29955181846552 × 6371000     		du = 182.962587199996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26654474)-sin(-1.26657346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299579219520503-0.29955181846552)×R²
    abs(-1.40579752--1.40589339)×2.74010549832227e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.74010549832227e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.74010549832227e-05×40589641000000     		ar = 33479.1325074811m²