Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1810 / 1518
↖ ↑ ↗
← N 74.235878°
W100.458984°		 ← 1 327.55 m → N 74.235878°
W100.415039°		 →
↑
1 328.10 m
↓
↑
1 328.10 m
↓
N 74.223934°
W100.458984°		 ← 1 328.53 m →
1 763 770 m²		 N 74.223934°
W100.415039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22100830078125 y=0.18536376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22100830078125 × 213)
    floor (0.22100830078125 × 8192)
    floor (1810.5)     		tx = 1810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.18536376953125 × 213)
    floor (0.18536376953125 × 8192)
    floor (1518.5)     		ty = 1518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1810 / 1518 ti = "13/1810/1518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1810/1518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1810 ÷ 213
    1810 ÷ 8192     		x = 0.220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1518 ÷ 213
    1518 ÷ 8192     		y = 0.185302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.55810546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75334004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185302734375 × 2 - 1) × π
    0.62939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.97730123552808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75334004} λ = -1.75334004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97730123552808))-π/2
    2×atan(7.22322287964462)-π/2
    2×1.43322841109413-π/2
    2.86645682218826-1.57079632675     		φ = 1.29566050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75334004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29566050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.235878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1810 KachelY 1518 -1.75334004 1.29566050 -100.458984 74.235878
    Oben rechts KachelX + 1 1811 KachelY 1518 -1.75257305 1.29566050 -100.415039 74.235878
    Unten links KachelX 1810 KachelY + 1 1519 -1.75334004 1.29545204 -100.458984 74.223934
    Unten rechts KachelX + 1 1811 KachelY + 1 1519 -1.75257305 1.29545204 -100.415039 74.223934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29566050-1.29545204) × R
    0.000208460000000077 × 6371000     		dl = 1328.09866000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29566050-1.29545204) × R
    0.000208460000000077 × 6371000     		dr = 1328.09866000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75334004--1.75257305) × cos(1.29566050) × R
    0.000766990000000023 × 0.271677657580759 × 6371000     		do = 1327.55105081134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75334004--1.75257305) × cos(1.29545204) × R
    0.000766990000000023 × 0.271878271142496 × 6371000     		du = 1328.53134763465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29566050)-sin(1.29545204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.271677657580759-0.271878271142496)×R²
    abs(-1.75257305--1.75334004)×0.000200613561736895×R²
    0.000766990000000023×0.000200613561736895×6371000²
    0.000766990000000023×0.000200613561736895×40589641000000     		ar = 1763769.74350034m²