Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1810 / 1267
↖ ↑ ↗
← N 76.970245°
W100.458984°		 ← 1 101.69 m → N 76.970245°
W100.415039°		 →
↑
1 102.12 m
↓
↑
1 102.12 m
↓
N 76.960333°
W100.458984°		 ← 1 102.52 m →
1 214 652 m²		 N 76.960333°
W100.415039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22100830078125 y=0.15472412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22100830078125 × 213)
    floor (0.22100830078125 × 8192)
    floor (1810.5)     		tx = 1810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15472412109375 × 213)
    floor (0.15472412109375 × 8192)
    floor (1267.5)     		ty = 1267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1810 / 1267 ti = "13/1810/1267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1810/1267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1810 ÷ 213
    1810 ÷ 8192     		x = 0.220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1267 ÷ 213
    1267 ÷ 8192     		y = 0.1546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.55810546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75334004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1546630859375 × 2 - 1) × π
    0.690673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16981582440222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75334004} λ = -1.75334004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16981582440222))-π/2
    2×atan(8.75667112707635)-π/2
    2×1.45709026466645-π/2
    2.9141805293329-1.57079632675     		φ = 1.34338420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75334004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34338420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.970245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1810 KachelY 1267 -1.75334004 1.34338420 -100.458984 76.970245
    Oben rechts KachelX + 1 1811 KachelY 1267 -1.75257305 1.34338420 -100.415039 76.970245
    Unten links KachelX 1810 KachelY + 1 1268 -1.75334004 1.34321121 -100.458984 76.960333
    Unten rechts KachelX + 1 1811 KachelY + 1 1268 -1.75257305 1.34321121 -100.415039 76.960333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34338420-1.34321121) × R
    0.00017299000000004 × 6371000     		dl = 1102.11929000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34338420-1.34321121) × R
    0.00017299000000004 × 6371000     		dr = 1102.11929000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75334004--1.75257305) × cos(1.34338420) × R
    0.000766990000000023 × 0.225457037781002 × 6371000     		do = 1101.69430230018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75334004--1.75257305) × cos(1.34321121) × R
    0.000766990000000023 × 0.225625570452356 × 6371000     		du = 1102.51783606789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34338420)-sin(1.34321121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225457037781002-0.225625570452356)×R²
    abs(-1.75257305--1.75334004)×0.000168532671353722×R²
    0.000766990000000023×0.000168532671353722×6371000²
    0.000766990000000023×0.000168532671353722×40589641000000     		ar = 1214652.3615001m²