Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18099 / 52605
↖ ↑ ↗
← S 73.017779°
W 80.579224°		 ← 178.40 m → S 73.017779°
W 80.573731°		 →
↑
178.39 m
↓
↑
178.39 m
↓
S 73.019384°
W 80.579224°		 ← 178.38 m →
31 822 m²		 S 73.019384°
W 80.573731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276176452636719 y=0.802696228027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276176452636719 × 216)
    floor (0.276176452636719 × 65536)
    floor (18099.5)     		tx = 18099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802696228027344 × 216)
    floor (0.802696228027344 × 65536)
    floor (52605.5)     		ty = 52605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18099 / 52605 ti = "16/18099/52605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18099/52605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18099 ÷ 216
    18099 ÷ 65536     		x = 0.276168823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52605 ÷ 216
    52605 ÷ 65536     		y = 0.802688598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276168823242188 × 2 - 1) × π
    -0.447662353515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40637276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802688598632812 × 2 - 1) × π
    -0.605377197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.90184855552611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40637276} λ = -1.40637276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90184855552611))-π/2
    2×atan(0.149292388717412)-π/2
    2×0.1481978355004-π/2
    0.296395671000801-1.57079632675     		φ = -1.27440066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40637276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.579224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27440066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.017779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18099 KachelY 52605 -1.40637276 -1.27440066 -80.579224 -73.017779
    Oben rechts KachelX + 1 18100 KachelY 52605 -1.40627689 -1.27440066 -80.573731 -73.017779
    Unten links KachelX 18099 KachelY + 1 52606 -1.40637276 -1.27442866 -80.579224 -73.019384
    Unten rechts KachelX + 1 18100 KachelY + 1 52606 -1.40627689 -1.27442866 -80.573731 -73.019384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27440066--1.27442866) × R
    2.8000000000139e-05 × 6371000     		dl = 178.388000000886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27440066--1.27442866) × R
    2.8000000000139e-05 × 6371000     		dr = 178.388000000886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40637276--1.40627689) × cos(-1.27440066) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292074943505472 × 6371000     		do = 178.395803416579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40637276--1.40627689) × cos(-1.27442866) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292048164318813 × 6371000     		du = 178.379447016877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27440066)-sin(-1.27442866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292074943505472-0.292048164318813)×R²
    abs(-1.40627689--1.40637276)×2.67791866595535e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.67791866595535e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.67791866595535e-05×40589641000000     		ar = 31822.2116894919m²