Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18097 / 14162
↖ ↑ ↗
← N 80.259898°
W130.295105°		 ← 51.67 m → N 80.259898°
W130.292358°		 →
↑
51.67 m
↓
↑
51.67 m
↓
N 80.259433°
W130.295105°		 ← 51.67 m →
2 670 m²		 N 80.259433°
W130.292358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138072967529297 y=0.108051300048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138072967529297 × 217)
    floor (0.138072967529297 × 131072)
    floor (18097.5)     		tx = 18097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108051300048828 × 217)
    floor (0.108051300048828 × 131072)
    floor (14162.5)     		ty = 14162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18097 / 14162 ti = "17/18097/14162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18097/14162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18097 ÷ 217
    18097 ÷ 131072     		x = 0.138069152832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14162 ÷ 217
    14162 ÷ 131072     		y = 0.108047485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138069152832031 × 2 - 1) × π
    -0.723861694335938 × 3.1415926535     		Λ = -2.27407858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108047485351562 × 2 - 1) × π
    0.783905029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46271028108076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27407858} λ = -2.27407858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46271028108076))-π/2
    2×atan(11.7365778976854)-π/2
    2×1.48579790527177-π/2
    2.97159581054354-1.57079632675     		φ = 1.40079948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27407858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.295105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40079948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.259898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18097 KachelY 14162 -2.27407858 1.40079948 -130.295105 80.259898
    Oben rechts KachelX + 1 18098 KachelY 14162 -2.27403064 1.40079948 -130.292358 80.259898
    Unten links KachelX 18097 KachelY + 1 14163 -2.27407858 1.40079137 -130.295105 80.259433
    Unten rechts KachelX + 1 18098 KachelY + 1 14163 -2.27403064 1.40079137 -130.292358 80.259433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40079948-1.40079137) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dl = 51.6688100000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40079948-1.40079137) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dr = 51.6688100000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27407858--2.27403064) × cos(1.40079948) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169179241315238 × 6371000     		do = 51.6716949713113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27407858--2.27403064) × cos(1.40079137) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16918723440646 × 6371000     		du = 51.6741362671127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40079948)-sin(1.40079137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169179241315238-0.16918723440646)×R²
    abs(-2.27403064--2.27407858)×7.99309122229142e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.99309122229142e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.99309122229142e-06×40589641000000     		ar = 2669.87805937523m²