Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18093 / 52601
↖ ↑ ↗
← S 73.011360°
W 80.612182°		 ← 178.46 m → S 73.011360°
W 80.606689°		 →
↑
178.45 m
↓
↑
178.45 m
↓
S 73.012965°
W 80.612182°		 ← 178.44 m →
31 845 m²		 S 73.012965°
W 80.606689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276084899902344 y=0.802635192871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276084899902344 × 216)
    floor (0.276084899902344 × 65536)
    floor (18093.5)     		tx = 18093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802635192871094 × 216)
    floor (0.802635192871094 × 65536)
    floor (52601.5)     		ty = 52601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18093 / 52601 ti = "16/18093/52601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18093/52601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18093 ÷ 216
    18093 ÷ 65536     		x = 0.276077270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52601 ÷ 216
    52601 ÷ 65536     		y = 0.802627563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276077270507812 × 2 - 1) × π
    -0.447845458984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40694800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802627563476562 × 2 - 1) × π
    -0.605255126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.90146506032915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40694800} λ = -1.40694800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90146506032915))-π/2
    2×atan(0.149349652610941)-π/2
    2×0.148253850441806-π/2
    0.296507700883611-1.57079632675     		φ = -1.27428863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40694800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.612182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27428863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.011360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18093 KachelY 52601 -1.40694800 -1.27428863 -80.612182 -73.011360
    Oben rechts KachelX + 1 18094 KachelY 52601 -1.40685213 -1.27428863 -80.606689 -73.011360
    Unten links KachelX 18093 KachelY + 1 52602 -1.40694800 -1.27431664 -80.612182 -73.012965
    Unten rechts KachelX + 1 18094 KachelY + 1 52602 -1.40685213 -1.27431664 -80.606689 -73.012965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27428863--1.27431664) × R
    2.80099999998562e-05 × 6371000     		dl = 178.451709999084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27428863--1.27431664) × R
    2.80099999998562e-05 × 6371000     		dr = 178.451709999084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40694800--1.40685213) × cos(-1.27428863) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292182086652914 × 6371000     		do = 178.461245140676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40694800--1.40685213) × cos(-1.27431664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.292155298818864 × 6371000     		du = 178.444883459254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27428863)-sin(-1.27431664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292182086652914-0.292155298818864)×R²
    abs(-1.40685213--1.40694800)×2.67878340498018e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.67878340498018e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.67878340498018e-05×40589641000000     		ar = 31845.2544810316m²