Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18093 / 51623
↖ ↑ ↗
← S 71.369354°
W 80.612182°		 ← 195.13 m → S 71.369354°
W 80.606689°		 →
↑
195.14 m
↓
↑
195.14 m
↓
S 71.371109°
W 80.612182°		 ← 195.11 m →
38 076 m²		 S 71.371109°
W 80.606689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276084899902344 y=0.787712097167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276084899902344 × 216)
    floor (0.276084899902344 × 65536)
    floor (18093.5)     		tx = 18093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787712097167969 × 216)
    floor (0.787712097167969 × 65536)
    floor (51623.5)     		ty = 51623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18093 / 51623 ti = "16/18093/51623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18093/51623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18093 ÷ 216
    18093 ÷ 65536     		x = 0.276077270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51623 ÷ 216
    51623 ÷ 65536     		y = 0.787704467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276077270507812 × 2 - 1) × π
    -0.447845458984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.40694800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787704467773438 × 2 - 1) × π
    -0.575408935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80770048467232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40694800} λ = -1.40694800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80770048467232))-π/2
    2×atan(0.164030895013343)-π/2
    2×0.162583051854065-π/2
    0.32516610370813-1.57079632675     		φ = -1.24563022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40694800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.612182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24563022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.369354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18093 KachelY 51623 -1.40694800 -1.24563022 -80.612182 -71.369354
    Oben rechts KachelX + 1 18094 KachelY 51623 -1.40685213 -1.24563022 -80.606689 -71.369354
    Unten links KachelX 18093 KachelY + 1 51624 -1.40694800 -1.24566085 -80.612182 -71.371109
    Unten rechts KachelX + 1 18094 KachelY + 1 51624 -1.40685213 -1.24566085 -80.606689 -71.371109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24563022--1.24566085) × R
    3.06299999999204e-05 × 6371000     		dl = 195.143729999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24563022--1.24566085) × R
    3.06299999999204e-05 × 6371000     		dr = 195.143729999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40694800--1.40685213) × cos(-1.24563022) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319466192676024 × 6371000     		do = 195.126043414975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40694800--1.40685213) × cos(-1.24566085) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319437167609414 × 6371000     		du = 195.108315259266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24563022)-sin(-1.24566085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319466192676024-0.319437167609414)×R²
    abs(-1.40685213--1.40694800)×2.90250666105663e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.90250666105663e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90250666105663e-05×40589641000000     		ar = 38075.8941657495m²