Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18092 / 19677
↖ ↑ ↗
← S 33.988919°
E 18.764649°		 ← 1 012.92 m → S 33.988919°
E 18.775635°		 →
↑
1 012.80 m
↓
↑
1 012.80 m
↓
S 33.998027°
E 18.764649°		 ← 1 012.81 m →
1 025 825 m²		 S 33.998027°
E 18.775635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552139282226562 y=0.600509643554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552139282226562 × 215)
    floor (0.552139282226562 × 32768)
    floor (18092.5)     		tx = 18092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600509643554688 × 215)
    floor (0.600509643554688 × 32768)
    floor (19677.5)     		ty = 19677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18092 / 19677 ti = "15/18092/19677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18092/19677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18092 ÷ 215
    18092 ÷ 32768     		x = 0.5521240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19677 ÷ 215
    19677 ÷ 32768     		y = 0.600494384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5521240234375 × 2 - 1) × π
    0.104248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32750490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600494384765625 × 2 - 1) × π
    -0.20098876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.63142484179538
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32750490} λ = 0.32750490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.63142484179538))-π/2
    2×atan(0.531833482319319)-π/2
    2×0.488788895038126-π/2
    0.977577790076252-1.57079632675     		φ = -0.59321854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32750490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.764649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59321854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.988919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18092 KachelY 19677 0.32750490 -0.59321854 18.764649 -33.988919
    Oben rechts KachelX + 1 18093 KachelY 19677 0.32769665 -0.59321854 18.775635 -33.988919
    Unten links KachelX 18092 KachelY + 1 19678 0.32750490 -0.59337751 18.764649 -33.998027
    Unten rechts KachelX + 1 18093 KachelY + 1 19678 0.32769665 -0.59337751 18.775635 -33.998027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59321854--0.59337751) × R
    0.000158970000000092 × 6371000     		dl = 1012.79787000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59321854--0.59337751) × R
    0.000158970000000092 × 6371000     		dr = 1012.79787000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32750490-0.32769665) × cos(-0.59321854) × R
    0.000191749999999991 × 0.829145708131648 × 6371000     		do = 1012.91694102262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32750490-0.32769665) × cos(-0.59337751) × R
    0.000191749999999991 × 0.829056828250299 × 6371000     		du = 1012.80836187102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59321854)-sin(-0.59337751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829145708131648-0.829056828250299)×R²
    abs(0.32769665-0.32750490)×8.88798813486469e-05×R²
    0.000191749999999991×8.88798813486469e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.88798813486469e-05×40589641000000     		ar = 1025825.13814897m²