Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18092 / 18974
↖ ↑ ↗
← S 27.352253°
E 18.764649°		 ← 1 085.06 m → S 27.352253°
E 18.775635°		 →
↑
1 084.98 m
↓
↑
1 084.98 m
↓
S 27.362010°
E 18.764649°		 ← 1 084.96 m →
1 177 216 m²		 S 27.362010°
E 18.775635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552139282226562 y=0.579055786132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552139282226562 × 215)
    floor (0.552139282226562 × 32768)
    floor (18092.5)     		tx = 18092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579055786132812 × 215)
    floor (0.579055786132812 × 32768)
    floor (18974.5)     		ty = 18974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18092 / 18974 ti = "15/18092/18974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18092/18974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18092 ÷ 215
    18092 ÷ 32768     		x = 0.5521240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18974 ÷ 215
    18974 ÷ 32768     		y = 0.57904052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5521240234375 × 2 - 1) × π
    0.104248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32750490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57904052734375 × 2 - 1) × π
    -0.1580810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.496626280063782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32750490} λ = 0.32750490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.496626280063782))-π/2
    2×atan(0.608580379938071)-π/2
    2×0.546704727599999-π/2
    1.0934094552-1.57079632675     		φ = -0.47738687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32750490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.764649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47738687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.352253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18092 KachelY 18974 0.32750490 -0.47738687 18.764649 -27.352253
    Oben rechts KachelX + 1 18093 KachelY 18974 0.32769665 -0.47738687 18.775635 -27.352253
    Unten links KachelX 18092 KachelY + 1 18975 0.32750490 -0.47755717 18.764649 -27.362010
    Unten rechts KachelX + 1 18093 KachelY + 1 18975 0.32769665 -0.47755717 18.775635 -27.362010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47738687--0.47755717) × R
    0.000170299999999957 × 6371000     		dl = 1084.98129999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47738687--0.47755717) × R
    0.000170299999999957 × 6371000     		dr = 1084.98129999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32750490-0.32769665) × cos(-0.47738687) × R
    0.000191749999999991 × 0.888198582025159 × 6371000     		do = 1085.05824959623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32750490-0.32769665) × cos(-0.47755717) × R
    0.000191749999999991 × 0.888120323147151 × 6371000     		du = 1084.96264547919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47738687)-sin(-0.47755717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888198582025159-0.888120323147151)×R²
    abs(0.32769665-0.32750490)×7.82588780082749e-05×R²
    0.000191749999999991×7.82588780082749e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.82588780082749e-05×40589641000000     		ar = 1177216.04872798m²