Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18091 / 51620
↖ ↑ ↗
← S 71.364090°
W 80.623169°		 ← 195.18 m → S 71.364090°
W 80.617676°		 →
↑
195.14 m
↓
↑
195.14 m
↓
S 71.365845°
W 80.623169°		 ← 195.16 m →
38 086 m²		 S 71.365845°
W 80.617676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276054382324219 y=0.787666320800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276054382324219 × 216)
    floor (0.276054382324219 × 65536)
    floor (18091.5)     		tx = 18091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787666320800781 × 216)
    floor (0.787666320800781 × 65536)
    floor (51620.5)     		ty = 51620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18091 / 51620 ti = "16/18091/51620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18091/51620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18091 ÷ 216
    18091 ÷ 65536     		x = 0.276046752929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51620 ÷ 216
    51620 ÷ 65536     		y = 0.78765869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276046752929688 × 2 - 1) × π
    -0.447906494140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40713975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78765869140625 × 2 - 1) × π
    -0.5753173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.8074128632746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40713975} λ = -1.40713975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8074128632746))-π/2
    2×atan(0.164078080594102)-π/2
    2×0.162629000771401-π/2
    0.325258001542801-1.57079632675     		φ = -1.24553833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40713975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.623169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24553833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.364090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18091 KachelY 51620 -1.40713975 -1.24553833 -80.623169 -71.364090
    Oben rechts KachelX + 1 18092 KachelY 51620 -1.40704388 -1.24553833 -80.617676 -71.364090
    Unten links KachelX 18091 KachelY + 1 51621 -1.40713975 -1.24556896 -80.623169 -71.365845
    Unten rechts KachelX + 1 18092 KachelY + 1 51621 -1.40704388 -1.24556896 -80.617676 -71.365845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24553833--1.24556896) × R
    3.06299999999204e-05 × 6371000     		dl = 195.143729999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24553833--1.24556896) × R
    3.06299999999204e-05 × 6371000     		dr = 195.143729999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40713975--1.40704388) × cos(-1.24553833) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319553266077414 × 6371000     		do = 195.179226783636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40713975--1.40704388) × cos(-1.24556896) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319524241910052 × 6371000     		du = 195.161499177177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24553833)-sin(-1.24556896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319553266077414-0.319524241910052)×R²
    abs(-1.40704388--1.40713975)×2.90241673623348e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.90241673623348e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90241673623348e-05×40589641000000     		ar = 38086.2726200852m²