Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18091 / 19676
↖ ↑ ↗
← S 33.979809°
E 18.753662°		 ← 1 013.03 m → S 33.979809°
E 18.764649°		 →
↑
1 012.99 m
↓
↑
1 012.99 m
↓
S 33.988919°
E 18.753662°		 ← 1 012.92 m →
1 026 129 m²		 S 33.988919°
E 18.764649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552108764648438 y=0.600479125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552108764648438 × 215)
    floor (0.552108764648438 × 32768)
    floor (18091.5)     		tx = 18091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600479125976562 × 215)
    floor (0.600479125976562 × 32768)
    floor (19676.5)     		ty = 19676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18091 / 19676 ti = "15/18091/19676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18091/19676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18091 ÷ 215
    18091 ÷ 32768     		x = 0.552093505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19676 ÷ 215
    19676 ÷ 32768     		y = 0.6004638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552093505859375 × 2 - 1) × π
    0.10418701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32731315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6004638671875 × 2 - 1) × π
    -0.200927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.631233094196899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32731315} λ = 0.32731315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.631233094196899))-π/2
    2×atan(0.531935469889969)-π/2
    2×0.488868392647853-π/2
    0.977736785295705-1.57079632675     		φ = -0.59305954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32731315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.753662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59305954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.979809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18091 KachelY 19676 0.32731315 -0.59305954 18.753662 -33.979809
    Oben rechts KachelX + 1 18092 KachelY 19676 0.32750490 -0.59305954 18.764649 -33.979809
    Unten links KachelX 18091 KachelY + 1 19677 0.32731315 -0.59321854 18.753662 -33.988919
    Unten rechts KachelX + 1 18092 KachelY + 1 19677 0.32750490 -0.59321854 18.764649 -33.988919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59305954--0.59321854) × R
    0.000158999999999909 × 6371000     		dl = 1012.98899999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59305954--0.59321854) × R
    0.000158999999999909 × 6371000     		dr = 1012.98899999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32731315-0.32750490) × cos(-0.59305954) × R
    0.000191749999999991 × 0.829234583826295 × 6371000     		do = 1013.02551505957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32731315-0.32750490) × cos(-0.59321854) × R
    0.000191749999999991 × 0.829145708131648 × 6371000     		du = 1012.91694102262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59305954)-sin(-0.59321854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829234583826295-0.829145708131648)×R²
    abs(0.32750490-0.32731315)×8.88756946469949e-05×R²
    0.000191749999999991×8.88756946469949e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.88756946469949e-05×40589641000000     		ar = 1026128.71348308m²