Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18090 / 52298
↖ ↑ ↗
← S 72.518232°
W 80.628662°		 ← 183.50 m → S 72.518232°
W 80.623169°		 →
↑
183.48 m
↓
↑
183.48 m
↓
S 72.519882°
W 80.628662°		 ← 183.48 m →
33 668 m²		 S 72.519882°
W 80.623169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.276039123535156 y=0.798011779785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.276039123535156 × 216)
    floor (0.276039123535156 × 65536)
    floor (18090.5)     		tx = 18090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.798011779785156 × 216)
    floor (0.798011779785156 × 65536)
    floor (52298.5)     		ty = 52298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18090 / 52298 ti = "16/18090/52298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18090/52298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18090 ÷ 216
    18090 ÷ 65536     		x = 0.276031494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52298 ÷ 216
    52298 ÷ 65536     		y = 0.798004150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.276031494140625 × 2 - 1) × π
    -0.44793701171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40723563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798004150390625 × 2 - 1) × π
    -0.59600830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.87241529915939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40723563} λ = -1.40723563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87241529915939))-π/2
    2×atan(0.153751856255883)-π/2
    2×0.152557209790865-π/2
    0.30511441958173-1.57079632675     		φ = -1.26568191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40723563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.628662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26568191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.518232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18090 KachelY 52298 -1.40723563 -1.26568191 -80.628662 -72.518232
    Oben rechts KachelX + 1 18091 KachelY 52298 -1.40713975 -1.26568191 -80.623169 -72.518232
    Unten links KachelX 18090 KachelY + 1 52299 -1.40723563 -1.26571071 -80.628662 -72.519882
    Unten rechts KachelX + 1 18091 KachelY + 1 52299 -1.40713975 -1.26571071 -80.623169 -72.519882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26568191--1.26571071) × R
    2.879999999994e-05 × 6371000     		dl = 183.484799999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26568191--1.26571071) × R
    2.879999999994e-05 × 6371000     		dr = 183.484799999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40723563--1.40713975) × cos(-1.26568191) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.300402309354559 × 6371000     		do = 183.50119526453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40723563--1.40713975) × cos(-1.26571071) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.300374839427453 × 6371000     		du = 183.484415218901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26568191)-sin(-1.26571071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300402309354559-0.300374839427453)×R²
    abs(-1.40713975--1.40723563)×2.74699271059498e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.74699271059498e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.74699271059498e-05×40589641000000     		ar = 33668.1406735671m²