Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18090 / 19682
↖ ↑ ↗
← S 34.034453°
E 18.742676°		 ← 1 012.37 m → S 34.034453°
E 18.753662°		 →
↑
1 012.29 m
↓
↑
1 012.29 m
↓
S 34.043557°
E 18.742676°		 ← 1 012.27 m →
1 024 759 m²		 S 34.043557°
E 18.753662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552078247070312 y=0.600662231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552078247070312 × 215)
    floor (0.552078247070312 × 32768)
    floor (18090.5)     		tx = 18090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600662231445312 × 215)
    floor (0.600662231445312 × 32768)
    floor (19682.5)     		ty = 19682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18090 / 19682 ti = "15/18090/19682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18090/19682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18090 ÷ 215
    18090 ÷ 32768     		x = 0.55206298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19682 ÷ 215
    19682 ÷ 32768     		y = 0.60064697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55206298828125 × 2 - 1) × π
    0.1041259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32712140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60064697265625 × 2 - 1) × π
    -0.2012939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.632383579787781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32712140} λ = 0.32712140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.632383579787781))-π/2
    2×atan(0.531323837701056)-π/2
    2×0.488391534828522-π/2
    0.976783069657045-1.57079632675     		φ = -0.59401326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32712140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.742676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59401326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.034453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18090 KachelY 19682 0.32712140 -0.59401326 18.742676 -34.034453
    Oben rechts KachelX + 1 18091 KachelY 19682 0.32731315 -0.59401326 18.753662 -34.034453
    Unten links KachelX 18090 KachelY + 1 19683 0.32712140 -0.59417215 18.742676 -34.043557
    Unten rechts KachelX + 1 18091 KachelY + 1 19683 0.32731315 -0.59417215 18.753662 -34.043557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59401326--0.59417215) × R
    0.000158890000000023 × 6371000     		dl = 1012.28819000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59401326--0.59417215) × R
    0.000158890000000023 × 6371000     		dr = 1012.28819000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32712140-0.32731315) × cos(-0.59401326) × R
    0.000191749999999991 × 0.82870117199248 × 6371000     		do = 1012.37387822696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32712140-0.32731315) × cos(-0.59417215) × R
    0.000191749999999991 × 0.828612232179183 × 6371000     		du = 1012.26522586015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59401326)-sin(-0.59417215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82870117199248-0.828612232179183)×R²
    abs(0.32731315-0.32712140)×8.89398132964958e-05×R²
    0.000191749999999991×8.89398132964958e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.89398132964958e-05×40589641000000     		ar = 1024759.12919529m²