Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18090 / 18971
↖ ↑ ↗
← S 27.322975°
E 18.742676°		 ← 1 085.34 m → S 27.322975°
E 18.753662°		 →
↑
1 085.30 m
↓
↑
1 085.30 m
↓
S 27.332735°
E 18.742676°		 ← 1 085.25 m →
1 177 873 m²		 S 27.332735°
E 18.753662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552078247070312 y=0.578964233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552078247070312 × 215)
    floor (0.552078247070312 × 32768)
    floor (18090.5)     		tx = 18090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578964233398438 × 215)
    floor (0.578964233398438 × 32768)
    floor (18971.5)     		ty = 18971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18090 / 18971 ti = "15/18090/18971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18090/18971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18090 ÷ 215
    18090 ÷ 32768     		x = 0.55206298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18971 ÷ 215
    18971 ÷ 32768     		y = 0.578948974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55206298828125 × 2 - 1) × π
    0.1041259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32712140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578948974609375 × 2 - 1) × π
    -0.15789794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.496051037268341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32712140} λ = 0.32712140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.496051037268341))-π/2
    2×atan(0.608930562127311)-π/2
    2×0.546960226269066-π/2
    1.09392045253813-1.57079632675     		φ = -0.47687587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32712140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.742676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47687587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.322975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18090 KachelY 18971 0.32712140 -0.47687587 18.742676 -27.322975
    Oben rechts KachelX + 1 18091 KachelY 18971 0.32731315 -0.47687587 18.753662 -27.322975
    Unten links KachelX 18090 KachelY + 1 18972 0.32712140 -0.47704622 18.742676 -27.332735
    Unten rechts KachelX + 1 18091 KachelY + 1 18972 0.32731315 -0.47704622 18.753662 -27.332735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47687587--0.47704622) × R
    0.000170350000000041 × 6371000     		dl = 1085.29985000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47687587--0.47704622) × R
    0.000170350000000041 × 6371000     		dr = 1085.29985000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32712140-0.32731315) × cos(-0.47687587) × R
    0.000191749999999991 × 0.888433249993007 × 6371000     		do = 1085.34492919647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32712140-0.32731315) × cos(-0.47704622) × R
    0.000191749999999991 × 0.888355045457921 × 6371000     		du = 1085.24939146688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47687587)-sin(-0.47704622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888433249993007-0.888355045457921)×R²
    abs(0.32731315-0.32712140)×7.82045350852245e-05×R²
    0.000191749999999991×7.82045350852245e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.82045350852245e-05×40589641000000     		ar = 1177872.84816196m²